Question

17．若正項(xiàng)數(shù)列{a_n}中，a₁+a₂+a₃+…+a_n=$\frac{1}{2}$（a_n+$\frac{1}{{a}_{n}}$），n∈N^*．則數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式為（　　）

• A． a_n=$\sqrt{n}$-$\sqrt{n-1}$
• B． a_n=$\sqrt{n}$+$\sqrt{n-1}$
• C． a_n=$\sqrt{n}$-$\sqrt{n+1}$
• D． a_n=$\sqrt{n}$+$\sqrt{n+1}$

Answer 1

分析 由a₁+a₂+a₃+…+a_n=$\frac{1}{2}$（a_n+$\frac{1}{{a}_{n}}$），n∈N^*．當(dāng)n=1時，a₁=$\frac{1}{2}（{a}_{1}+\frac{1}{{a}_{1}}）$，解得a₁=1．同理可得：a₂=$\sqrt{2}$-1.${a}_{3}=\sqrt{3}-\sqrt{2}$，a₄=2-$\sqrt{3}$．猜想：a_n=$\sqrt{n}-\sqrt{n-1}$．代入驗(yàn)證即可得出．

解答 解：∵a₁+a₂+a₃+…+a_n=$\frac{1}{2}$（a_n+$\frac{1}{{a}_{n}}$），n∈N^*．
∴當(dāng)n=1時，a₁=$\frac{1}{2}（{a}_{1}+\frac{1}{{a}_{1}}）$，解得a₁=1．
當(dāng)n=2時，a₁+a₂=$\frac{1}{2}$（a₂+$\frac{1}{{a}_{2}}$），解得a₂=$\sqrt{2}$-1．
同理可得：${a}_{3}=\sqrt{3}-\sqrt{2}$，a₄=2-$\sqrt{3}$．
猜想：a_n=$\sqrt{n}-\sqrt{n-1}$．
代入a₁+a₂+a₃+…+a_n=$\frac{1}{2}$（a_n+$\frac{1}{{a}_{n}}$），n∈N^*．驗(yàn)證成立．
故選：A．

點(diǎn)評 本題考查了遞推關(guān)系的應(yīng)用、猜想驗(yàn)證能力，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．