Question

已知定義在R上的函數(shù)f(x)=

b-2x

2x+1

是奇函數(shù)
（1）求b的值；
（2）判斷f（x）的單調(diào)性，并用單調(diào)性定義證明；
（3）若對(duì)任意的t∈R，不等式f（t-2t²）+f（-k）＞0恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)恒成立問(wèn)題,奇偶性與單調(diào)性的綜合

專(zhuān)題：轉(zhuǎn)化思想,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）由定義在實(shí)數(shù)集上的奇函數(shù)有f（0）=0列式求解，或直接由奇函數(shù)的定義得恒等式，由系數(shù)相等求解b的值；
（2）直接利用函數(shù)單調(diào)性的定義證明；
（3）由函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性，把給出的不等式轉(zhuǎn)化為含有t的一元二次不等式，分類(lèi)變量k后求二次函數(shù)的最值，則答案可求．

解答： （1）解：法一、∵f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，∴f(0)=

b-1

1+1

=0，∴b=1；
法二、由f(x)=

b-2x

1+2x

是奇函數(shù)，則f(-x)=

b-2-x

1+2-x

=

b•2x-1

2x+1

=-f(x)=

2x-b

1+2x

，
∴b•2^x-1=2^x-b對(duì)一切實(shí)數(shù)x都成立，∴b=1；
（2）由（1）知f(x)=

1-2x

1+2x

=

2

1+2x

-1，f（x）在R上是減函數(shù)．
證明：設(shè)x₁，x₂為R上的任意兩個(gè)實(shí)數(shù)，且x₁＜x₂，
則f(x1)-f(x2)=

2

1+2x1

-1-

2

1+2x2

+1
=

2(2x2-2x1)

(1+2x1)(1+2x2)

．
∵x₁＜x₂，∴2x2＞2x1，1+2x1＞0，1+2x2＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，
即f（x₁）＞f（x₂），∴f（x）在R上是減函數(shù)；
（3）∵f（x）既是奇函數(shù)，又是實(shí)數(shù)集上的減函數(shù)，
∴不等式f（t-2t²）+f（-k）＞0?f（t-2t²）＞f（k）?t-2t²＜k，
∴k＞t-2t2=-2(t-

1

4

)2+

1

8

對(duì)t∈R恒成立，
∴k＞

1

8

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)恒成立問(wèn)題，考查函數(shù)單調(diào)性和奇偶性的定義，訓(xùn)練了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，考查了利用配方法求二次函數(shù)的最值，是中檔題．