Question

已知數(shù)列{a_n}中，a_n＞0，其前n項(xiàng)和為S_n，且S_n=

1

8

（a_n+2）²，
（1）求證數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列；
（2）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．

Answer 1

考點(diǎn)：等差關(guān)系的確定,等差數(shù)列的通項(xiàng)公式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）根據(jù)等差數(shù)列的定義即可得到結(jié)論．
（2）根據(jù)a_n與S_n的關(guān)系，即可求出{a_n}的通項(xiàng)公式，

解答： 解：（1）∵S_n=

1

8

（a_n+2）²，
∴8S_n=（a_n+2）²，
∴8S_n+1=（a_n+1+2）²，
兩式相減得8S_n+1-8S_n=（a_n+1+2）²-（a_n+2）²，
即8a_n+1=（a_n+1+2）²，
∴（a_n+1）²-（a_n）²-4（a_n+1+a_n）=0，
即（a_n+1-a_n）（a_n+1+a_n）-4（a_n+1+a_n）=（a_n+1-a_n-4）（a_n+1+a_n）=0，
∵a_n＞0，∴a_n+1+a_n＞0，
∴a_n+1-a_n-4=0，
即a_n+1-a_n=4為常數(shù)，
∴數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列；
（2）∵a_n+1-a_n=4，
∴數(shù)列{a_n}等差d=4的等差數(shù)列，
∵S_n=

1

8

（a_n+2）²，
∴當(dāng)n=1時(shí)，a₁=

1

8

（a₁+2）²，
解得a₁=2．
∴a_n=a₁+（n-1）d=2+4（n-1）=4n-2．

點(diǎn)評：本題主要考查等差數(shù)列的判斷以及等差數(shù)列的通項(xiàng)公式的計(jì)算，考查學(xué)生的推理和判斷能力．