Question

3．已知圓方程為y²-6ysinθ+x²-4xcosθ-5cos²θ=0．
（1）求圓心軌跡C的參數(shù)方程；
（2）點(diǎn)P（x，y）是（1）中曲線C上的動(dòng)點(diǎn)，求點(diǎn)P到直線2x+y=10的距離的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由圓方程為y²-6ysinθ+x²-4xcosθ-5cos²θ=0．化為（x-2cosθ）²+（y-3sinθ）²=9．即可得出圓心的參數(shù)方程．
（2）求出圓心C到直線2x+y=10的距離d=$\frac{|4cosθ+3sinθ-10|}{\sqrt{5}}$=$\frac{|5sin（θ+φ）-10|}{\sqrt{5}}$，即可得出點(diǎn)P到直線2x+y=10的距離的取值范圍．

解答 解：（1）由圓方程為y²-6ysinθ+x²-4xcosθ-5cos²θ=0．化為（x-2cosθ）²+（y-3sinθ）²=9．
其圓心為C（2cosθ，3sinθ），因此其參數(shù)方程為$\left\{{\begin{array}{l}{x=2cosθ}\\{y=3sinθ}\end{array}}\right.（{θ為參數(shù)}）$．
（2）圓心C到直線2x+y=10的距離d=$\frac{|4cosθ+3sinθ-10|}{\sqrt{5}}$=$\frac{|5sin（θ+φ）-10|}{\sqrt{5}}$∈$[\sqrt{5}，3\sqrt{5}]$．
∴點(diǎn)P到直線2x+y=10的距離的取值范圍是$[3-\sqrt{5}，3+3\sqrt{5}]$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了參數(shù)方程、點(diǎn)到直線的距離公式、三角函數(shù)的單調(diào)性、和差公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．