Question

15．已知函數(shù)y=f（x）=$\frac{lnx}{{x}^{2}}$．
（1）若a＞0，當(dāng)x∈[a，2a]時(shí)，求函數(shù)f（x）=$\frac{lnx}{{x}^{2}}$的最小值；
（2）若f（x）≤$\frac{a}{x}$+1，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過(guò)討論a的范圍，從而求出函數(shù)f（x）的最小值；
（2）問(wèn)題轉(zhuǎn)化為a＞$\frac{lnx}{x}$-x，求出函數(shù)g（x）=$\frac{lnx}{x}$-x的最大值即可．

解答 解：（1）f′（x）=$\frac{1-2lnx}{{x}^{3}}$，（x＞0），
令f′（x）＞0，解得：0＜x＜$\sqrt{e}$，令f′（x）＜0，解得：x＞$\sqrt{e}$，
∴函數(shù)f（x）在（0，$\sqrt{e}$）遞增，在（$\sqrt{e}$，+∞）遞減，
①若2a≤$\sqrt{e}$，即0＜a≤$\frac{\sqrt{e}}{2}$時(shí)，
f（x）在[a，2a]單調(diào)遞增，f（x）_min=f（a）=$\frac{lna}{{a}^{2}}$，
②a＜$\sqrt{e}$＜2a，即：$\frac{\sqrt{e}}{2}$＜a＜$\sqrt{e}$時(shí)，
f（x）在[a，$\sqrt{e}$）遞增，在（$\sqrt{e}$，2a]遞減，
∴f（x）_min=min[f（a），f（2a）]，
③a≥$\sqrt{e}$時(shí)，
f（x）在[a，2a]單調(diào)遞減，
∴f（x）_min=f（2a）=$\frac{ln2a}{{4a}^{2}}$；
（2）若f（x）≤$\frac{a}{x}$+1，
則$\frac{lnx}{{x}^{2}}$＜$\frac{a}{x}$+1，則a＞$\frac{lnx}{x}$-x，
令g（x）=$\frac{lnx}{x}$-x，則g′（x）=$\frac{1-lnx{-x}^{2}}{{x}^{2}}$，
令h（x）=1-lnx-x²，則h′（x）=-$\frac{1}{x}$-2x＜0，
∴h（x）即g′（x）在（0，+∞）單調(diào)遞減，
而g′（1）=0，
∴x∈（0，1）時(shí)，g′（x）＞0，x∈（1，+∞）時(shí)，g′（x）＜0，
∴函數(shù)g（x）在（0，1）遞增，在（1，+∞）遞減，
∴g（x）_max=g（1）=-1，
∴a＞-1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問(wèn)題，考查函數(shù)恒成立問(wèn)題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，分類(lèi)討論思想，是一道中檔題．