Question

已知向量

a

=（1，2cos²x-1），

b

=（

3

sin2x，1），函數(shù)f（x）=

a

•

b

（1）求f（x）單調(diào)遞減區(qū)間；
（2）f（x）向右平移

π

6

個(gè)長(zhǎng)度單位，再向下平移

1

2

個(gè)長(zhǎng)度單位，得到g（x）的圖象，求g（x）在[0，

π

2

]上的值域．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換,平面向量數(shù)量積的運(yùn)算,三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用

專題：計(jì)算題,三角函數(shù)的求值,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）利用平面向量的數(shù)量積運(yùn)算法則計(jì)算

a

•

b

，列出函數(shù)解析式，再利用二倍角的正弦，特殊角的三角函數(shù)值及兩角和與差的正弦函數(shù)公式化為一個(gè)角的正弦函數(shù)，根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間[2kπ+

π

2

，2kπ+

3π

2

]，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間．
（2）根據(jù)函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，得出平移變換后的解析式．通過(guò)x的范圍求出相位的范圍然后求出函數(shù)的最值．

解答： 解：向量

a

=（1，2cos²x-1），

b

=（

3

sin2x，1），
函數(shù)f（x）=

a

•

b

=

3

sin2x+cos2x=2sin（2x+

π

6

）．
（1）由2kπ+

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

3π

2

，即kπ+

π

6

≤x≤kπ+

2π

3

，k∈Z時(shí)，
∴f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為[kπ+

π

6

，kπ+

2π

3

]，k∈Z．
（2）f（x）=2sin（2x+

π

6

）向右平移

π

6

個(gè)長(zhǎng)度單位，得到函數(shù)=2sin（2x-

π

6

）．再向下平移

1

2

個(gè)長(zhǎng)度單位，得到g（x）=2sin（2x-

π

6

）-

1

2

的圖象，
∵x∈[0，

π

2

]，∴2x-

π

6

∈[-

π

6

，

π

3

]，
sin（2x-

π

6

）∈[-

1

2

，

3

2

]，
2sin（2x-

π

6

）-

1

2

∈[-

3

2

，

3

-

1

2

]．
函數(shù)的值域：[-

3

2

，

3

-

1

2

]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了三角函數(shù)的周期性及其求法，涉及的知識(shí)有：平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，兩角和與差的正弦函數(shù)公式，二倍角的正弦，三角函數(shù)圖象變換以及正弦函數(shù)的單調(diào)性，其中利用三角函數(shù)的恒等變形把函數(shù)解析式化為一個(gè)角的正弦函數(shù)是解本題的關(guān)鍵．