Question

7．極坐標系中橢圓C的方程為ρ²=$\frac{2}{co{s}^{2}θ+2si{n}^{2}θ}$，以極點為原點，極軸為x軸非負半軸，建立平面直角坐標系，且兩坐標系取相同的單位長度．
（1）求該橢圓的直角標方程，若橢圓上任一點坐標為P（x，y），求x+$\sqrt{2}$y的取值范圍；
（2）若橢圓的兩條弦AB，CD交于點Q，且直線AB與CD的傾斜角互補，求證：|QA|•|QB|=|QC|•|QD|．

Answer 1

分析 （1）由橢圓C的方程為ρ²=$\frac{2}{co{s}^{2}θ+2si{n}^{2}θ}$，化為$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$．令$x=\sqrt{2}cosθ$，y=sinθ，θ∈[0，2π）．可得x+$\sqrt{2}$y=2$sin（θ+\frac{π}{4}）$，即可得出取值范圍．
（2）設(shè)Q（m，n），直線AB的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=m+tcosα}\\{y=n+tsinα}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），直線AB與CD的傾斜角互補，可設(shè)直線CD的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=m-tcosα}\\{y=n+tsinα}\end{array}\right.$，分別把直線AB、CD的參數(shù)方程代入橢圓的方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系、參數(shù)的意義即可得出．

解答 （1）解：由橢圓C的方程為ρ²=$\frac{2}{co{s}^{2}θ+2si{n}^{2}θ}$，化為x²+2y²=2，
∴$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$．
令$x=\sqrt{2}cosθ$，y=sinθ，θ∈[0，2π）．
∴x+$\sqrt{2}$y=$\sqrt{2}cosθ+\sqrt{2}sinθ$=2$sin（θ+\frac{π}{4}）$∈[-2，2]，
∴x+$\sqrt{2}$y的取值范圍是[-2，2]．
（2）證明：設(shè)Q（m，n），直線AB的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=m+tcosα}\\{y=n+tsinα}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），
∵直線AB與CD的傾斜角互補，可設(shè)直線CD的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=m-tcosα}\\{y=n+tsinα}\end{array}\right.$，
把直線AB的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=m+tcosα}\\{y=n+tsinα}\end{array}\right.$（t為參數(shù)）代入橢圓的方程化為：（1+sin²α）t²+（2mcosα+4nsinα）t+m²+2n²-2=0，
∴|QA||QB|=$\frac{|{m}^{2}+2{n}^{2}-2|}{1+si{n}^{2}α}$，
同理可得：|QC||QD|=$\frac{|{m}^{2}+2{n}^{2}-2|}{1+si{n}^{2}α}$，
∴：|QA|•|QB|=|QC|•|QD|．

點評 本題考查了直線的參數(shù)方程及其應(yīng)用、橢圓的極坐標方程化為直角坐標方程，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．