A、解:(1)∵f(x)為奇函數(shù),
故f(x)的定義域關(guān)于原點對稱
又f(x)的定義域為
(顯然b≠0,否則f(x)為偶函數(shù))
∴
,即c=0
于是得
,且
,
∴
∴
,又b∈Z
∴b=1
∴a=1
故a=b=1,c=0,符合f(x)在[1,+∞)上單調(diào)遞增
(2)由(1)知
,
=
①當(dāng)-1<x
1<x
2<0時,顯然x
1-x
2<0,0<x
1x
2<1,x
1x
2-1<0
∴f(x
1)-f(x
2)>0
∴f(x)為減函數(shù)
②當(dāng)x
1<x
2<-1時,顯然x
1-x
2<0,x
1x
2>1,x
1x
2-1>0
∴f(x
1)-f(x
2)<0
∴f(x)為增函數(shù)
綜上所述,f(x)在(-∞,-1]上是增函數(shù),在[-1,0)上是減函數(shù).
B、解:由題意二次函數(shù)f(x)圖象開口向下,
故在對稱軸兩邊的圖象是左降右升
又對于任意實數(shù)x,都有f(2-x)=f(x+2),
故此函數(shù)的對稱軸方程是x=2
由此知,函數(shù)f(x)在(-∞,2]上是增函數(shù),在(2,+∞)是減函數(shù),
而x
2+x+
=(x+
)
2+
≥
,2x
2-x+
=2(x-
)
2+
≥
,
∴
(x
2+x+
)≤
=2,
(2x
2-x+
)≤
=1,
∵f[
(x
2+x+
)]<f[
(2x
2-x+
)]
∴
(x
2+x+
)<
(2x
2-x+
),
∴x
2+x+
>2x
2-x+
,解得
,
∴不等式的解集為
.
分析:A、(1)求三個未知數(shù),需要三個條件,一是定義域要關(guān)于原點對稱,二是f(1)=2,三是f(2)<3,f(x)在[1,+∞)上單調(diào)遞增可解.
(2)用單調(diào)性定義來探討,先在給定的區(qū)間上任取兩個變量,且界定大小,再作差變形,在與0比較中出現(xiàn)討論,再進一步細化區(qū)間,確定后即為所求的單調(diào)區(qū)間.
B、由題設(shè)二次函數(shù)f(x)的圖象開口向下,又對于任意實數(shù)x,都有f(2-x)=f(x+2),知其對稱軸方程為x=2,由二次函數(shù)的這些特征即可研究出其單調(diào)性,分析
(x
2+x+
),
(2x
2-x+
)的范圍,利用二次函數(shù)的單調(diào)性轉(zhuǎn)化不等式為
(x
2+x+
)<
(2x
2-x+
),利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性把不等式轉(zhuǎn)化為x
2+x+
>2x
2-x+
,解此不等式即可求得結(jié)果.
點評:A、此題是中檔題.本題主要考查函數(shù)利用奇偶性和函數(shù)值,單間性來求解析式,在研究單調(diào)性中分類討論的思想應(yīng)用.
B、本題主要考查二次函數(shù)的單調(diào)性和對稱性,還考查了利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性解對數(shù)不等式和一元二次不等式的解法,特別注意對數(shù)不等式的求解時的定義域.