Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=ln（ax+1）﹣ax﹣lna．
（1）討論f（x）的單調(diào)性；
（2）若h（x）=ax﹣f（x），當(dāng)h（x）＞0恒成立時，求a的取值范圍；
（3）若存在 ，x2＞0，使得f（x1）=f（x2）=0，判斷x1+x2與0的大小關(guān)系，并說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：因為f（x）=ln（ax+1）﹣ax﹣lna，所以 且a＞0

易知f（x）的定義域為 ，

又a＞0，在區(qū)間 上，f'（x）＞0；在區(qū)間（0，+∞上，f′（x）＜0，

所以f（x）在（﹣ ，0）上是增函數(shù)，在（0，+∞）上是減函數(shù)

（2）解：因為a＞0，h（x）=ax﹣f（x），則h（x）=2ax﹣ln（x+ ），

由于h′（x）=2a﹣ = ，

所以在區(qū)間（﹣ ，﹣ ）上，h′（x）＜0；在區(qū)間（﹣ ，+∞）上，h′（x）＞0，

故h（x）的最小值為h（﹣ ），所以只需h（﹣ ）＞0，

即 ，即 ，解得a＞ ，

故a的取值范圍是：（ ，+∞）

（3）解：x1+x2與0的大小關(guān)系是x1+x2＞0．

構(gòu)造函數(shù) ，

則 ， ，

因為 ，所以 ，0＜a2x2＜1，﹣1＜a2x2﹣1＜0， ，

則 ，即g'（x）＜0，所以函數(shù)g（x）在區(qū)間 上為減函數(shù)．

因為 ，所以g（x1）＞g（0）=0，

于是f（﹣x1）﹣f（x1）＞0，又f（x1）=0，

則f（﹣x1）＞0=f（x2），由f（x）在（0，+∞）上為減函數(shù)，

可知x2＞﹣x1，即x1+x2＞0

【解析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；（2）求出h（x）的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出h（x）的最小值，問題轉(zhuǎn)化為 ，解出即可；（3）構(gòu)造函數(shù) ，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性得到f（﹣x1）﹣f（x1）＞0，判斷出x1+x2與0的大小關(guān)系即可．
【考點精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性的相關(guān)知識，掌握一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負有如下關(guān)系： 在某個區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞減，以及對函數(shù)的最大(小)值與導(dǎo)數(shù)的理解，了解求函數(shù)在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數(shù)在內(nèi)的極值；（2）將函數(shù)的各極值與端點處的函數(shù)值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值．