【題目】已知函數(shù)f(x)=lnx+a(x﹣1),其中a∈R. (Ⅰ) 當a=﹣1時,求證:f(x)≤0;
(Ⅱ) 對任意t≥e,存在x∈(0,+∞),使tlnt+(t﹣1)[f(x)+a]>0成立,求a的取值范圍.
(其中e是自然對數(shù)的底數(shù),e=2.71828…)
【答案】解:(Ⅰ)當a=﹣1時,f(x)=lnx﹣x+1(x>0),
則 ,令f'(x)=0,得x=1.
當0<x<1時,f'(x)>0,f(x)單調(diào)遞增;當x>1時,f'(x)<0,f(x)單調(diào)遞減.
故當x=1時,函數(shù)f(x)取得極大值,也為最大值,所以f(x)max=f(1)=0,
所以,f(x)≤0,得證.
(II)原題即對任意t≥e,存在x∈(0,+∞),使 成立,
只需 .(5分)
設 ,則 ,
令u(t)=t﹣1﹣lnt,則 對于t≥e恒成立,
所以u(t)=t﹣1﹣lnt為[e,+∞)上的增函數(shù),
于是u(t)=t﹣1﹣lnt≥u(e)=e﹣2>0,即 對于t≥e恒成立,
所以 為[e,+∞)上的增函數(shù),則 .(8分)
令p(x)=﹣f(x)﹣a,則p(x)=﹣lnx﹣a(x﹣1)﹣a=﹣lnx﹣ax,
當a≥0時,p(x)=﹣lnx﹣ax為(0,+∞)的減函數(shù),且其值域為R,符合題意.
當a<0時, ,由p'(x)=0得 ,
由p'(x)>0得 ,則p(x)在 上為增函數(shù);
由p'(x)<0得 ,則p(x)在 上為減函數(shù),
所以 ,
從而由 ,解得 .
綜上所述,a的取值范圍是 .
【解析】(Ⅰ)求出函數(shù)f(x)的導數(shù),解關于導函數(shù)的不等式,求出函數(shù)f(x)的最大值,證明結(jié)論即可;
(Ⅱ)問題轉(zhuǎn)化為證明 ,設 ,根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出a的范圍即可.
【考點精析】認真審題,首先需要了解利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性(一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導數(shù)的正負有如下關系: 在某個區(qū)間內(nèi),(1)如果,那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞增;(2)如果,那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞減),還要掌握函數(shù)的最大(小)值與導數(shù)(求函數(shù)在上的最大值與最小值的步驟:(1)求函數(shù)在內(nèi)的極值;(2)將函數(shù)的各極值與端點處的函數(shù)值,比較,其中最大的是一個最大值,最小的是最小值)的相關知識才是答題的關鍵.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知A是拋物線y2=4x上的一點,以點A和點B(2,0)為直徑的圓C交直線x=1于M,N兩點.直線l與AB平行,且直線l交拋物線于P,Q兩點.
(Ⅰ)求線段MN的長;
(Ⅱ)若 =﹣3,且直線PQ與圓C相交所得弦長與|MN|相等,求直線l的方程.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】對一切實數(shù)x,不等式x2+a|x|+1≥0恒成立,則實數(shù)a的取值范圍是( )
A.(﹣∞,﹣2)
B.[﹣2,+∞)
C.[﹣2,2]
D.[0,+∞)
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,平面α⊥平面β,α∩β=直線l,A,C是α內(nèi)不同的兩點,B,D是β內(nèi)不同的兩點,且A,B,C,D直線l,M,N分別是線段AB,CD的中點.下列判斷正確的是( )
A.當|CD|=2|AB|時,M,N兩點不可能重合
B.M,N兩點可能重合,但此時直線AC與直線l不可能相交
C.當AB與CD相交,直線AC平行于l時,直線BD可以與l相交
D.當AB,CD是異面直線時,MN可能與l平行
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某電視臺舉行一個比賽類型的娛樂節(jié)目,A、B兩隊各有六名選手參賽,將他們首輪的比賽成績作為樣本數(shù)據(jù),繪制成莖葉圖如圖所示,為了增加節(jié)目的趣味性,主持人故意將A隊第六位選手的成績沒有給出,并且告知大家B隊的平均分比A隊的平均分多4分,同時規(guī)定如果某位選手的成績不少于21分,則獲得“晉級”.
(1)根據(jù)莖葉圖中的數(shù)據(jù),求出A隊第六位選手的成績;
(2)主持人從A隊所有選手成績中隨機抽2個,求至少有一個為“晉級”的概率;
(3)主持人從A、B兩隊所有選手成績分別隨機抽取2個,記抽取到“晉級”選手的總?cè)藬?shù)為ξ,求ξ的分布列及數(shù)學期望.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=ln(ax+1)﹣ax﹣lna.
(1)討論f(x)的單調(diào)性;
(2)若h(x)=ax﹣f(x),當h(x)>0恒成立時,求a的取值范圍;
(3)若存在 ,x2>0,使得f(x1)=f(x2)=0,判斷x1+x2與0的大小關系,并說明理由.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】斐波那契數(shù)列{an}滿足: .若將數(shù)列的每一項按照下圖方法放進格子里,每一小格子的邊長為1,記前n項所占的格子的面積之和為Sn , 每段螺旋線與其所在的正方形所圍成的扇形面積為cn , 則下列結(jié)論錯誤的是( )
A.
B.a1+a2+a3+…+an=an+2﹣1
C.a1+a3+a5+…+a2n﹣1=a2n﹣1
D.4(cn﹣cn﹣1)=πan﹣2an+1
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