Question

13．已知函數(shù)y=3$\sqrt{x-5}$+4$\sqrt{6-x}$，則函數(shù)y的值域為[3，6]．

Answer 1

分析 求出函數(shù)的定義域和函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，研究函數(shù)的單調(diào)性和極值即可得到結(jié)論．

解答 解：由$\left\{\begin{array}{l}{x-5≥0}\\{6-x≥0}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x≥5}\\{x≤6}\end{array}\right.$，即5≤x≤6，即函數(shù)的定義域為[5，6]，
函數(shù)的導(dǎo)數(shù)y′=$\frac{3}{2\sqrt{x-5}}$-$\frac{2}{\sqrt{6-x}}$=$\frac{3\sqrt{6-x}-4\sqrt{x-5}}{2\sqrt{x-5}•\sqrt{6-x}}$，
由y′=0，得3$\sqrt{6-x}$=4$\sqrt{x-5}$，
平方得9（6-x）=16（x-5），
即x=$\frac{134}{25}$=5.36，
由y′＞0得5＜x＜$\frac{134}{25}$，此時單調(diào)遞增，
由y′＜0得$\frac{134}{25}$＜x＜6，此時單調(diào)單調(diào)遞減，
故當(dāng)x=$\frac{134}{25}$時，函數(shù)取得極大值，也是最大值，此時y=3$\sqrt{5.36-5}$+4$\sqrt{6-5.36}$=3$\sqrt{0.36}$+4$\sqrt{0.64}$=3×0.6+4×0.8=1.8+3.2=5，
當(dāng)x=5時，y=4$\sqrt{6-5}$=4，當(dāng)x=6時，y=3．
即函數(shù)的最小值為3，
則函數(shù)的值域為[3，6]，
故答案為：[3，6]

點評 本題主要考查函數(shù)值域的求解，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用函數(shù)單調(diào)性和最值之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．