Question

【題目】已知函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)．

（1）求的取值范圍；

（2）設(shè)，是的兩個(gè)零點(diǎn)，證明：．

Answer 1

【答案】（1）的取值范圍為；（2）證明見詳解.

【解析】

（1）求出，然后分、、、四種情況討論，每種情況下求出的單調(diào)性，再結(jié)合函數(shù)值的符號(hào)即可得到答案；

（2）借助（1）的結(jié)論來(lái)證明，由單調(diào)性可知等價(jià)于，即．設(shè)，則．則當(dāng)時(shí)，，而，故當(dāng)時(shí)，．從而，故．

（1）．

①當(dāng)時(shí)，則，只有一個(gè)零點(diǎn)．

②當(dāng)時(shí)，則當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．

所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增．

又，，取滿足且，

則，

故存在兩個(gè)零點(diǎn)．

③當(dāng)時(shí)，由得或．

若，則，故當(dāng)時(shí)，，因此在單調(diào)遞增．

又當(dāng)時(shí)，所以不存在兩個(gè)零點(diǎn)．

若，則，故當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．

因此在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增．

又當(dāng)時(shí)，，所以不存在兩個(gè)零點(diǎn)．

綜上，的取值范圍為．

（2）不妨設(shè)，由（1）知，，

在單調(diào)遞減，所以要證，即證，即證．

由于，而，

所以．

設(shè)，則．

所以當(dāng)時(shí)，，而，故當(dāng)時(shí)，．

從而，故．