Question

已知曲線C₁：

x2

4

+

y2

4λ

=1和曲線C₂：

x2

4λ

+

y2

4λ2

=1（0＜λ＜1）．曲線C₂的左頂點(diǎn)恰為曲線C₁的左焦點(diǎn)．
（1）求λ的值；
（2）設(shè)P（x₀，y₀）為曲線C₂上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作直線交曲線C₁于A，C兩點(diǎn)，直線OP交曲線C₁于B，D兩點(diǎn)，若P為AC中點(diǎn)．
①求證：直線AC的方程為x₀x+2y₀y=2；
②四邊形ABCD的面積是否為定值？若是，請(qǐng)求出該定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題

專(zhuān)題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）利用曲線C₂的左頂點(diǎn)恰為曲線C₁的左焦點(diǎn)，可得

4λ

=

4-4λ

，從而可求λ的值；
（2）①先求出AC的斜率，可得AC的方程，從而可得結(jié)論；
②AC的方程與橢圓方程聯(lián)立，求出|AC|，再求出B，D到直線AC的距離，即可得出結(jié)論．

解答： （1）解：∵曲線C₂的左頂點(diǎn)恰為曲線C₁的左焦點(diǎn)，
∴

4λ

=

4-4λ

，
∴λ=

1

2

；
（2）①證明：由題意，B（

2

x₀，

2

y₀），D（-

2

x₀，-

2

y₀），
∴k_OP•k_AC=-

4λ

4

=-

1

2

，
∴k_AC=-

x0

2y0

，
∴AC的方程為y-y₀=-

x0

2y0

（x-x₀），即x₀x+2y₀y=2，
y₀=0時(shí)，x₀=±

2

滿(mǎn)足x₀x+2y₀y=2；
②解：AC的方程與橢圓方程聯(lián)立，可得(1+

x02

2y02

)x2-

2x0

y02

x+

2

y02

-4=0，即2x2-4x0x+4-8y2=0，
∴|AC|=

1+ x02 4y02

|xA-xC|=

1+ x02 4y02

8y02

，
B，D到直線AC的距離d1=

2 2 -2

x02+4y02

，d₂=

2 2 +2

x02+4y02

∴S=

1

2

|AC|（d₁+d₂）=

1

2

1+ x02 4y02

8y02

•（

2 2 -2

x02+4y02

+

2 2 +2

x02+4y02

）=4
當(dāng)y₀=0時(shí)，ABCD的面積也為4，
∴四邊形ABCD的面積為定值4．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查弦長(zhǎng)的計(jì)算，考查面積的計(jì)算，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．