【題目】已知函數(shù) .
(1)討論函數(shù)的單調(diào)性;
(2)設(shè)若對恒成立,求的取值范圍.
【答案】(1)詳見解析;(2).
【解析】
(1)求出f(x)的導(dǎo)數(shù),通過討論a的范圍,確定導(dǎo)函數(shù)的符號,從而求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(2)問題轉(zhuǎn)化為對x>1恒成立,令,通過討論函數(shù)h(x)的單調(diào)性得到其最小值,解關(guān)于a的不等式即可求出a的范圍.
解:(1)定義域為,
令得或,則且
①當(dāng)時, 此時在上單調(diào)遞增;
②當(dāng)時, 在和上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減;
③當(dāng)時, 在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增.
綜上所述,當(dāng)時, 在上單調(diào)遞增;當(dāng)時, 在和上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減;當(dāng)時, 在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增.
(2)由題意, ,即,
即對任意恒成立,令則
令則即在上單調(diào)遞減, 上單調(diào)遞增,
當(dāng)時取得最小值 解得
又的取值范圍為
綜上所述,實數(shù)的取值范圍為
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某企業(yè)生產(chǎn)一種產(chǎn)品,根據(jù)經(jīng)驗,其次品率與日產(chǎn)量 (萬件)之間滿足關(guān)系, (其中為常數(shù),且,已知每生產(chǎn)1萬件合格的產(chǎn)品以盈利2萬元,但每生產(chǎn)1萬件次品將虧損1萬元(注:次品率=次品數(shù)/生產(chǎn)量, 如表示每生產(chǎn)10件產(chǎn)品,有1件次品,其余為合格品).
(1)試將生產(chǎn)這種產(chǎn)品每天的盈利額 (萬元)表示為日產(chǎn)量 (萬件)的函數(shù);
(2)當(dāng)日產(chǎn)量為多少時,可獲得最大利潤?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某公司為提高員工的綜合素質(zhì),聘請專業(yè)機構(gòu)對員工進行專業(yè)技術(shù)培訓(xùn),其中培訓(xùn)機構(gòu)費用成本為12000元.公司每位員工的培訓(xùn)費用按以下方式與該機構(gòu)結(jié)算:若公司參加培訓(xùn)的員工人數(shù)不超過30人時,每人的培訓(xùn)費用為850元;若公司參加培訓(xùn)的員工人數(shù)多于30人,則給予優(yōu)惠:每多一人,培訓(xùn)費減少10元.已知該公司最多有60位員工可參加培訓(xùn),設(shè)參加培訓(xùn)的員工人數(shù)為人,每位員工的培訓(xùn)費為元,培訓(xùn)機構(gòu)的利潤為元.
(1)寫出與 之間的函數(shù)關(guān)系式;
(2)當(dāng)公司參加培訓(xùn)的員工為多少人時,培訓(xùn)機構(gòu)可獲得最大利潤?并求最大利潤.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)(且).
(1)判斷函數(shù)的奇偶性并說明理由;
(2)當(dāng)時,判斷函數(shù)在上的單調(diào)性,并利用單調(diào)性的定義證明;
(3)是否存在實數(shù),使得當(dāng)的定義域為時,值域為?若存在,求出實數(shù)的取值范圍;若不存在,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】若關(guān)于x的不等式的解集為,且中只有一個整數(shù),則實數(shù)的取值范圍是( )
A. B. C. D.
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【題目】已知橢圓:,點是橢圓內(nèi)且在軸上的一個動點,過點的直線與橢圓交于,兩點(在第一象限),且.
(Ⅰ)若點為橢圓的下頂點,求點的坐標(biāo);
(Ⅱ)當(dāng)(為坐標(biāo)原點)的面積最大時,求點的坐標(biāo).
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【題目】在經(jīng)濟學(xué)中,函數(shù)的邊際函數(shù)為,定義為,某公司每月最多生產(chǎn)臺報警系統(tǒng)裝置,生產(chǎn)臺的收入函數(shù)為(單位元),其成本函數(shù)為(單位元),利潤等于收入與成本之差.
(Ⅰ)求出利潤函數(shù)及其邊際利潤函數(shù).
(Ⅱ)求出的利潤函數(shù)及其邊際利潤函數(shù)是否具有相同的最大值.
(Ⅲ)你認(rèn)為本題中邊際利潤函數(shù)最大值的實際意義.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】給出下列四個命題:
①映射不一定是函數(shù),但函數(shù)一定是其定義域到值域的映射;
②函數(shù)的反函數(shù)是,則;
③函數(shù)的最小值是;
④對于函數(shù),則既是奇函數(shù)又是偶函數(shù).
其中所有正確命題的序號是( ).
A.①③B.②③C.①③④D.②③④
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