Question

【題目】某企業(yè)生產(chǎn)一種產(chǎn)品，根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，其次品率與日產(chǎn)量 （萬件）之間滿足關(guān)系, （其中為常數(shù)，且，已知每生產(chǎn)1萬件合格的產(chǎn)品以盈利2萬元，但每生產(chǎn)1萬件次品將虧損1萬元（注:次品率=次品數(shù)/生產(chǎn)量， 如表示每生產(chǎn)10件產(chǎn)品，有1件次品，其余為合格品）.

（1）試將生產(chǎn)這種產(chǎn)品每天的盈利額 （萬元）表示為日產(chǎn)量 （萬件）的函數(shù)；

（2）當(dāng)日產(chǎn)量為多少時(shí)，可獲得最大利潤(rùn)?

Answer 1

【答案】（1）；（2）見解析.

【解析】

（1）運(yùn)用每天的贏利為P（x）＝日產(chǎn)量（x）×正品率（1﹣Q）×2﹣日產(chǎn)量（x）×次品率（Q）×1，整理即可得到P（x）與x的函數(shù)式；

（2）當(dāng)a＜x≤11時(shí)，求得P（x）的最大值；當(dāng)1≤x≤a時(shí)，設(shè)12﹣x＝t，利用基本不等式可得x＝9時(shí)，等號(hào)成立，故可分類討論得：當(dāng)1＜a＜3時(shí)，當(dāng)x＝11時(shí)，取得最大利潤(rùn)； 3≤a＜9時(shí)，運(yùn)用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可得當(dāng)x＝a時(shí)取得最大利潤(rùn)；當(dāng)9≤a≤11時(shí)，當(dāng)日產(chǎn)量為9萬件時(shí)，取得最大利潤(rùn)．

（1）當(dāng)時(shí)，，

∴.

當(dāng)時(shí)，，

∴.

綜上，日盈利額（萬元）與日產(chǎn)量x（萬件）的函數(shù)關(guān)系式為

，（其中a為常數(shù)，且）.

（2）當(dāng)時(shí)，，其最大值為55萬元.

當(dāng)時(shí)，，設(shè)，則，

此時(shí)，，

顯然，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，有最大值，為13.5萬元.

令，得，

解得（舍去）或，

則（i）當(dāng)時(shí)，日產(chǎn)量為11萬件時(shí)，可獲得最大利潤(rùn)5.5萬元.

（ii）當(dāng)時(shí)，時(shí)，

函數(shù)可看成是由函數(shù)與復(fù)合而成的.

因?yàn)?/span>，所以，故在上為減函數(shù)

又在上為減函數(shù)，所以在上為增函數(shù)

故當(dāng)日產(chǎn)量為a萬件時(shí)，可獲得最大利潤(rùn)萬元.

（iii）當(dāng)時(shí)，日產(chǎn)量為9萬件時(shí)，可獲得最大利潤(rùn)13.5萬元.