Question

設(shè)函數(shù)f（x）=

1

3

ax³+

1

2

bx²+（1-2a）x，a，b∈R，a≠0．
（1）若b=4a，求f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）若曲線y=f（x）與x軸相切于異于原點的一點，且f（x）的極小值為-

4

3

a，求a，b的值．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的極值

專題：綜合題,導數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）求導數(shù)，分類討論，利用導數(shù)的正負，即可求f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）依據(jù)題意得：依據(jù)題意得：

9b2

16a2

=

3-6a

a

≠0，得到a，b之間的關(guān)系式，再根據(jù)極小值，則求導求出極小值點，得到關(guān)于a，b的另外一個等式，即可求出a，b的值．

解答： 解：（1）∵f（x）=

1

3

ax³+

1

2

bx²+（1-2a）x，
∴f′（x）=ax²+4ax²+（1-2a）．
令f′（x）=0，△=4a（6a-1）
當a＜0或a＞

1

6

時，由f′（x）=0得x=-2±

6a2-a

a

．
①當a＜0時，f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（-2+

6a2-a

a

，-2-

6a2-a

a

）；…（3分）
②當0＜a≤

1

6

時，f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為R；…（5分）
③當a＞

1

6

時，f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（-∞，-2-

6a2-a

a

），（-2+

6a2-a

a

，+∞）…（7分）
（2）依據(jù)題意得：

9b2

16a2

=

3-6a

a

≠0，
f′（x）=a（x+

3b

4a

）（x+

b

4a

）=0，得x=-

3b

4a

或x=-

b

4a

．
如圖，得f（-

b

4a

）=-

4

3

a，
∴

a

3

(-

b

4a

)(-

b

4a

+

3b

4a

)2=-

4

3

a，則b=4a，
代入

9b2

16a2

=

3-6a

a

得，b=

4

5

，a=

1

5

．…（15分）

點評：本題以函數(shù)為載體，考查含參二次不等式，考查導數(shù)知識的運用，考查曲線的切線，同時考查零點存在性定理，綜合性比較強．