Question

3．已知f（x）=-x²+6x+8，g（x）=f（6+2x-x²），求：函數(shù)g（x）的單調區(qū)間．

Answer 1

分析 令t=6+2x-x²，根據(jù)復合函數(shù)單調性之間的關系進行判斷即可．

解答 解：f（x）=-x²+6x+8=-（x-3）²+17，則函數(shù)f（x）的增區(qū)間為（-∞，3]，減區(qū)間為[3，+∞），
設t=6+2x-x²，則g（x）=f（t），
由t=6+2x-x²=3得x²-2x-3=0，即x=3或x=-1，
若x≤-1時，函數(shù)t=6+2x-x²，為增函數(shù)，且t≤3，此時函數(shù)f（t）為增函數(shù)，根據(jù)復合函數(shù)單調性之間的關系知此時函數(shù)g（x）為增函數(shù)，
若-1≤x≤1時，函數(shù)t=6+2x-x²，為增函數(shù)，且t≥3，此時函數(shù)f（t）為減函數(shù)，根據(jù)復合函數(shù)單調性之間的關系知此時函數(shù)g（x）為減函數(shù)，
若1≤x≤3時，函數(shù)t=6+2x-x²，為減函數(shù)，且t≥3，此時函數(shù)f（t）為減函數(shù)，根據(jù)復合函數(shù)單調性之間的關系知此時函數(shù)g（x）為增函數(shù)，
若x≥3時，函數(shù)t=6+2x-x²，為減函數(shù)，且t≤3，此時函數(shù)f（t）為增函數(shù)，根據(jù)復合函數(shù)單調性之間的關系知此時函數(shù)g（x）為減函數(shù)，
綜上函數(shù)g（x）的遞增區(qū)間為（-∞，-1]和[1，3]，
遞減求解為[-1，1]和[3，+∞）．

點評 本題主要考查函數(shù)單調性的判斷，利用換元法，結合一元二次函數(shù)的單調性，利用復合函數(shù)單調性之間的關系是解決本題的關鍵．