Question

設函數(shù)f（x）=x³+ax²-a²x-3，g（x）=ax²-2x-1，其中實數(shù)a＞0．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若f（x）與g（x）在區(qū)間（a，a+2）上均為增函數(shù)，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）先對函數(shù)f（x）進行求導，令導函數(shù)大于0可求函數(shù)的增區(qū)間，令導函數(shù)小于0可求函數(shù)的減區(qū)間．
（2）分別求出函數(shù)f（x）與g（x）的單調(diào)增區(qū)間，然后令（a，a+2）為二者單調(diào)增區(qū)間的子集即可．

解答：解：（1）∵f′（x）=3x²+2ax-a²=3（x-

1

3

a）（x+a），又a＞0，
∴當x＜-a或x＞

a

3

時，f'（x）＞0；
當-a＜x＜

a

3

時，f'（x）＜0，
∴f（x）在（-∞，-a）和（

a

3

，+∞）內(nèi)是增函數(shù)，在（-a，

a

3

）內(nèi)是減函數(shù)．
（2）當a＞0時，f（x）在（-∞，-a）和（

a

3

，+∞）內(nèi)是增函數(shù)，g（x）在（

1

a

，+∞）內(nèi)是增函數(shù)．
由題意得

a＞0 a≤ 1 3 a≥ 1 a

，解得a≥1，
綜上可知，實數(shù)a的取值范圍為[1，+∞）．

點評：本題考查導數(shù)的運算，導數(shù)符號與函數(shù)單調(diào)性之間為的關系，綜合考查運用知識分析和解決問題的能力，中等題．