【題目】設(shè)函數(shù) .
(1)當(dāng)a=b=2時(shí),證明:函數(shù)f(x)不是奇函數(shù);
(2)設(shè)函數(shù)f(x)是奇函數(shù),求a與b的值;
(3)在(2)條件下,判斷并證明函數(shù)f(x)的單調(diào)性,并求不等式 的解集.
【答案】
(1)解:當(dāng)a=b=2時(shí), ,
∵ ,f(1)=0,
∴f(﹣1)≠﹣f(1),
∴函數(shù)f(x)不是奇函數(shù)
(2)解:由函數(shù)f(x)是奇函數(shù),得f(﹣x)=﹣f(x),
即 對(duì)定義域內(nèi)任意實(shí)數(shù)x都成立,
整理得(2a﹣b)22x+(2ab﹣4)2x+(2a﹣b)=0對(duì)定義域內(nèi)任意實(shí)數(shù)x都成立,
∴ ,
解得 或
經(jīng)檢驗(yàn) 符合題意
(3)解:由(2)可知
易判斷f(x)為R上的減函數(shù),
證明:∵2x+1在定義域R上單調(diào)遞增且2x+1>0,
∴ 在定義域R上單調(diào)遞減,且 >0,
∴ 在R上單調(diào)遞減.
由 ,不等式 ,
等價(jià)為f(x)>f(1),
由f(x)在R上的減函數(shù)可得x<1.
另解:由 得,即 ,
解得2x<2,∴x<1.
即不等式的解集為(﹣∞,1)
【解析】(1)根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義進(jìn)行判斷函數(shù)f(x)不是奇函數(shù);(2)根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)建立方程即可求a與b的值;(3)根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義或性質(zhì)證明函數(shù)f(x)的單調(diào)性,并利用單調(diào)性的性質(zhì)解不等式 .
【考點(diǎn)精析】利用函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)和函數(shù)的奇偶性對(duì)題目進(jìn)行判斷即可得到答案,需要熟知函數(shù)的單調(diào)區(qū)間只能是其定義域的子區(qū)間 ,不能把單調(diào)性相同的區(qū)間和在一起寫成其并集;偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱;奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】一個(gè)袋子內(nèi)裝有2個(gè)綠球,3個(gè)黃球和若干個(gè)紅球(所有球除顏色外其他均相同),從中一次性任取2個(gè)球,每取得1個(gè)綠球得5分,每取得1個(gè)黃球得2分,每取得1個(gè)紅球得1分,用隨機(jī)變量表示2個(gè)球的總得分,已知得2分的概率為.
(Ⅰ)求袋子內(nèi)紅球的個(gè)數(shù);
(Ⅱ)求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)y=f(x)是定義域?yàn)镽的偶函數(shù),當(dāng)x≥0時(shí),f(x)= ,若關(guān)于x的方程[f(x)]2+af(x)+ =0,a∈R有且僅有8個(gè)不同實(shí)數(shù)根,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】定義在區(qū)間[0,a]上的函數(shù)f(x)的圖象如圖所示,記以A(0,f(0)),B(a,f(a)),C(x,f(x))為頂點(diǎn)的三角形的面積為S(x),則函數(shù)S(x)的導(dǎo)函數(shù)S′(x)的圖象大致是( )
A.
B.
C.
D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,數(shù)列{bn},{cn}滿足 (n+1) bn=an+1,(n+2) cn=,其中n∈N*.
(1)若數(shù)列{an}是公差為2的等差數(shù)列,求數(shù)列{cn}的通項(xiàng)公式;
(2)若存在實(shí)數(shù)λ,使得對(duì)一切n∈N*,有bn≤λ≤cn,求證:數(shù)列{an}是等差數(shù)列.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在一張足夠大的紙板上截取一個(gè)面積為3600平方厘米的矩形紙板ABCD,然后在矩形紙板的四個(gè)角上切去邊長相等的小正方形,再把它的邊沿虛線折起,做成一個(gè)無蓋的長方體紙盒(如圖).設(shè)小正方形邊長為x厘米,矩形紙板的兩邊AB,BC的長分別為a厘米和b厘米,其中a≥b.
(1)當(dāng)a=90時(shí),求紙盒側(cè)面積的最大值;
(2)試確定a,b,x的值,使得紙盒的體積最大,并求出最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】一家公司計(jì)劃生產(chǎn)某種小型產(chǎn)品的月固定成本為1萬元,每生產(chǎn)1萬件需要再投入2萬元,設(shè)該公司一個(gè)月內(nèi)生產(chǎn)該小型產(chǎn)品x萬件并全部銷售完,每萬件的銷售收入為4﹣x萬元,且每萬件國家給予補(bǔ)助2e﹣ ﹣ 萬元.(e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù),e是一個(gè)常數(shù))
(1)寫出月利潤f(x)(萬元)關(guān)于月產(chǎn)量x(萬件)的函數(shù)解析式
(2)當(dāng)月產(chǎn)量在[1,2e]萬件時(shí),求該公司在生產(chǎn)這種小型產(chǎn)品中所獲得的月利潤最大值(萬元)及此時(shí)的月生成量值(萬件).(注:月利潤=月銷售收入+月國家補(bǔ)助﹣月總成本)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=x3+(1﹣a) x2﹣a(a+2)x+b(a,b∈R).
(1)若函數(shù)f(x)的圖象過原點(diǎn),且在原點(diǎn)處的切線斜率是﹣3,求a,b的值;
(2)若函數(shù)f(x)在區(qū)間(﹣1,1)上不單調(diào),求a的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】學(xué)校藝術(shù)節(jié)對(duì)同一類的,,,四項(xiàng)參賽作品,只評(píng)一項(xiàng)一等獎(jiǎng),在評(píng)獎(jiǎng)揭曉前,甲、乙、丙、丁四位同學(xué)對(duì)這四項(xiàng)參賽作品預(yù)測(cè)如下:
甲說:“是或作品獲得一等獎(jiǎng)”;
乙說:“作品獲得一等獎(jiǎng)”;
丙說:“,兩項(xiàng)作品未獲得一等獎(jiǎng)”;
丁說:“是作品獲得一等獎(jiǎng)”.
若這四位同學(xué)中只有兩位說的話是對(duì)的,則獲得一等獎(jiǎng)的作品是__________.
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