Question

【題目】設(shè)函數(shù) ．
（1）當(dāng)a=b=2時(shí)，證明：函數(shù)f（x）不是奇函數(shù)；
（2）設(shè)函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，求a與b的值；
（3）在（2）條件下，判斷并證明函數(shù)f（x）的單調(diào)性，并求不等式 的解集．

Answer 1

【答案】
（1）解：當(dāng)a=b=2時(shí)， ，

∵ ，f（1）=0，

∴f（﹣1）≠﹣f（1），

∴函數(shù)f（x）不是奇函數(shù)

（2）解：由函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，得f（﹣x）=﹣f（x），

即 對(duì)定義域內(nèi)任意實(shí)數(shù)x都成立，

整理得（2a﹣b）22x+（2ab﹣4）2x+（2a﹣b）=0對(duì)定義域內(nèi)任意實(shí)數(shù)x都成立，

∴ ，

解得 或

經(jīng)檢驗(yàn) 符合題意

（3）解：由（2）可知

易判斷f（x）為R上的減函數(shù)，

證明：∵2x+1在定義域R上單調(diào)遞增且2x+1＞0，

∴ 在定義域R上單調(diào)遞減，且 ＞0，

∴ 在R上單調(diào)遞減．

由 ，不等式 ，

等價(jià)為f（x）＞f（1），

由f（x）在R上的減函數(shù)可得x＜1．

另解：由 得，即 ，

解得2x＜2，∴x＜1．

即不等式的解集為（﹣∞，1）

【解析】（1）根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義進(jìn)行判斷函數(shù)f（x）不是奇函數(shù)；（2）根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)建立方程即可求a與b的值；（3）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義或性質(zhì)證明函數(shù)f（x）的單調(diào)性，并利用單調(diào)性的性質(zhì)解不等式 ．
【考點(diǎn)精析】利用函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)和函數(shù)的奇偶性對(duì)題目進(jìn)行判斷即可得到答案，需要熟知函數(shù)的單調(diào)區(qū)間只能是其定義域的子區(qū)間 ,不能把單調(diào)性相同的區(qū)間和在一起寫成其并集；偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱；奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱．