以直角坐標系xOy的原點為極點，x軸的正半軸為極軸，且兩坐標系取相同的長度單位．已知點N的極坐標為（2，
π
2
），m是曲線C：ρ2cos2θ+1=0上任意一點，點P滿足
OP
=
OM
+
ON
，設(shè)點P的軌跡為曲線Q
（1）求曲線Q的直角坐標方程；
（2）若直線l：
x=-2-t
y=2-
3
t
(t為參數(shù))與曲線Q的交點為A、B，求|AB|的長．
考點：參數(shù)方程化成普通方程,平面向量數(shù)量積的運算
專題：選作題,坐標系和參數(shù)方程
分析：（1）利用x=ρcosθ，y=ρsinθ，即可得出C的直角坐標方程；利用
OP
=
OM
+
ON
，確定坐標之間的關(guān)系，即可求曲線Q的直角坐標方程；
（2））把直線l：
x=-2-t
y=2-
3
t
(t為參數(shù))和曲線x2-（y-2）2+1=0聯(lián)立，利用參數(shù)的幾何意義，即可求|AB|的長．
解答： 解：（1）由已知曲線C：ρ2cos2θ+1=0得ρ2（cos2θ-sin2θ）+1=0
所以直角坐標方程為x2-y2+1=0，又點N的直角坐標為（0，2），
設(shè)P（x，y），M（x1，y1），由
OP
=
OM
+
ON
得（x，y）=（x1，y1）+（0，2）
所以
x1=x
y1=y-2
代入
x
2
1
-
y
2
1
+1=0得x2-（y-2）2+1=0
所以曲線Q的直角坐標方程為x2-（y-2）2+1=0
（2）把直線l：
x=-2-t
y=2-
3
t
(t為參數(shù))和曲線x2-（y-2）2+1=0聯(lián)立得2t2-4t-5=0，
∴|AB|=2|t1-t2|=2
14
．
點評：本題考查了直線的參數(shù)方程、圓的極坐標方程化為直角坐標方程，考查參數(shù)的幾何意義，屬于中檔題．
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知f（x）=
kx+1，x∈[-1，1]
2x2+kx-1，x∈(-∞，-1)∪(1，+∞)
．
（1）若k=2，求函數(shù)f（x）的零點；
（2）若函數(shù)f（x）在（0，2）上有兩個不同的零點，求k的取值范圍；
（3）在（2）的條件下證明：
1
x1
+
1
x2
＜4．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

證明下列不等式：
（1）若a＞0，b＞0，且
1
a
+
1
b
=1，求證：a+b≥4．
（2）若b＞a＞0，求證：ln
b
a
＜
b
a
-1．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓C：
x2
4
+
y2
3
=1，O為坐標原點，F(xiàn)為右焦點，AB為長為
7
2
的動弦，P為直線x=4上的動點．
（Ⅰ）若AB過點F，
（i）求直線AB的方程；
（ii）判斷直線PA，PF，PB的斜率是否依次成等差數(shù)列，說明理由；
（Ⅱ）求AOB面積的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知等比數(shù)列{an}中，a2=2，a5=16，求公比q及S4．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB=AD=1，AA1=2．
（1）求證：A1C1∥面ABCD；
（2）求AC1與底面ABCD所成角的正切值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，四棱錐S-ABCD中，△SAB是正三角形，四邊形ABCD為正方形，平面SAB⊥平面ABCD，AB=BC=4，E為SB中點，點F在線段BC上．
（Ⅰ）當EF⊥BD時，求BF的長度；
（Ⅱ）設(shè)二面角E-AF-B的大小為θ，當點F在線段BC中點時，求tanθ．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=ax3+
b
x2-a2x（a＞0），存在實數(shù)x1，x2滿足下列條件：①x1＜x2；②f′（x1）=f′（x2）=0；③|x1|+|x2|=2．
（1）證明：0＜a≤3；
（2）求b的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

若sin20°=m，則cos70°=
 
．

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