Question

證明下列不等式：
（1）若a＞0，b＞0，且

1

a

+

1

b

=1，求證：a+b≥4．
（2）若b＞a＞0，求證：ln

b

a

＜

b

a

-1．

Answer 1

考點(diǎn)：不等式的證明,基本不等式

專題：不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）利用基本不等式，可得a+b=（a+b）•（

1

a

+

1

b

）=2+

b

a

+

a

b

≥2+2

a b • b a

=4，從而可證得結(jié)論成立；
（2）設(shè)g（x）=lnx-（x-1）（x＞1），利用g′（x）=

1

x

-1知，x＞1時(shí)，g′（x）＜0，g（x）=lnx-（x-1）（x＞1）在[1，+∞）上遞減，令x=

b

a

（b＞a＞0），即可證得結(jié)論成立．

解答： 證明：（1）∵a＞0，b＞0，且

1

a

+

1

b

=1，
∴a+b=（a+b）•（

1

a

+

1

b

）=2+

b

a

+

a

b

≥2+2

a b • b a

=4，當(dāng)且僅當(dāng)即a=b時(shí)取等號．（6分）
（2）設(shè)g（x）=lnx-（x-1）（x＞1）…（8分）
∴g′（x）=

1

x

-1，
∴x＞1時(shí)，g′（x）＜0，g（x）=lnx-（x-1）（x＞1）在[1，+∞）上遞減，
又g（1）=ln1-（1-1）=0，
∴x＞1時(shí)g（x）＜g（1）=0即lnx＜（x-1），
令x=

b

a

（b＞a＞0），
則ln

b

a

＜

b

a

-1． …（13分

點(diǎn)評：本題考查不等式的證明，著重考查基本不等式的應(yīng)用及推理證明能力，屬于中檔題．