Question

已知多面體ABCDE中，AB⊥面ACD，DE⊥面ACD，AC=AD=CD=DE=2，AB=1，F(xiàn)為CE的中點．
（Ⅰ）求證：AF⊥CD
（Ⅱ）求直線AC與平面CBE所成角的余弦值．

Answer 1

考點：點、線、面間的距離計算,空間中直線與直線之間的位置關系

專題：綜合題,空間位置關系與距離,空間角

分析：（I）取CD的中點O，連接AG，GF，則GF∥DE，證明CD⊥平面AGF，由線面垂直的性質，我們可以得到AF⊥CD；
（II）分別以

GD

，

GF

，

GA

為x，y，z軸建立空間坐標系，求出各個頂點的坐標，進而求出平面CBE的法向量，代入向量夾角公式，即可得到直線AC與平面CBE所成角的余弦值．

解答： （Ⅰ）證明：取CD的中點，連接AG，GF，則GF∥DE．
∵AC=AD，∴AG⊥CD，
∵DE⊥平面ACD，∴DE⊥CD，∴GF⊥CD．
∵AG∩GF=G，∴CD⊥平面AGF．
∵AF?平面AGF，
∴CD⊥AF；
（Ⅱ）解：分別以

GD

，

GF

，

GA

為x，y，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系G-xyz．
則A(0，0，

3

)，B(0，1，

3

)，C(-1，0，0)，E(1，2，0)，
∴

CB

=(1，1，

3

)，

CE

=(2，2，0)，

CA

=(1，0，

3

)．
設平面CBE的法向量為

n

=(x，y，z)，
則

n • CB =x+y+ 3 z=0 n • CE =2x+2y=0

設x=1，則

n

=(1，-1，0)，
∴cos＜

CA

，

n

＞=

CA • n

| CA || n |

=

2

4

設直線AC與平面CBE所成角為θ，則sinθ=cos＜

CA

，

n

＞=

CA • n

| CA || n |

=

2

4

，
∴cosθ=

1-( 2 4 )2

=

14

4

，
∴直線AC與平面CBE所成角的余弦值為

14

4

．

點評：本題考查的知識點是直線與平面垂直的性質及直線與平面所成角的求法，在使用向量法求直線與平面所成角的大小時，建立坐標系，求出平面的法向量是關鍵．