Question

已知函數(shù)f（x）在R上是增函數(shù)，g（x）在R上是減函數(shù)．求證：函數(shù)F（x）=f（x）-g（x）在R上是增函數(shù)．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：任取x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，則由于f（x）在R上是增函數(shù)，g（x）在R上是減函數(shù)，有f（x₁）＜f（x₂），g（x₁）＞g（x₂），
從而F（x₁）-F（x₂）＜0，進(jìn)而F（x₁）＜F（x₂）．

解答： 解：任取x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，
則由于f（x）在R上是增函數(shù)，g（x）在R上是減函數(shù)，
有f（x₁）＜f（x₂），g（x₁）＞g（x₂），
∴F（x₁）-F（x₂）=[f（x₁）-g（x₁）]-[f（x₂）-g（x₂）]
=[f（x₁）-f（x₂）]-[g（x₁）-g（x₂）]
＜0，
∴F（x₁）＜F（x₂）
∴函數(shù)F（x）在R上是增函數(shù)．

點(diǎn)評(píng)：本題考察了函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的單調(diào)性的證明，是一道基礎(chǔ)題．