Question

某產(chǎn)品按行業(yè)生產(chǎn)標(biāo)準(zhǔn)分成8個(gè)等級(jí)，等級(jí)系數(shù)ξ依次為1，2，…，8，其中ξ≥5為標(biāo)準(zhǔn)A，ξ≥3為標(biāo)準(zhǔn)B，產(chǎn)品的等級(jí)系數(shù)越大表明產(chǎn)品的質(zhì)量越好，已知某廠執(zhí)行標(biāo)準(zhǔn)B生產(chǎn)該產(chǎn)品，且該廠的產(chǎn)品都符合相應(yīng)的執(zhí)行標(biāo)準(zhǔn)．從該廠生產(chǎn)的產(chǎn)品中隨機(jī)抽取30件，相應(yīng)的等級(jí)系數(shù)組成一個(gè)樣本，數(shù)據(jù)如下：

ξ	3	4	5	6	7	8
件數(shù)	9	6	6	3	3	3

該行業(yè)規(guī)定產(chǎn)品的等級(jí)系數(shù)ξ≥7的為一等品，等級(jí)系數(shù)5≤ξ＜7的為二等品，等級(jí)系數(shù)3≤ξ＜5的為三等品．
（1）試分別估計(jì)該廠生產(chǎn)的產(chǎn)品的一等品率、二等品率和三等品率；
（2）已知該廠生產(chǎn)一件一等品的利潤(rùn)為10元，生產(chǎn)一件二等品或三等品的利潤(rùn)為2元．
用這個(gè)樣本的頻率分布估計(jì)總體分布，將頻率視為概率，從該廠生產(chǎn)的產(chǎn)品中任取三件，其總利潤(rùn)記為Y，求Y的平均值．

Answer 1

考點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量的期望與方差,相互獨(dú)立事件的概率乘法公式

專題：概率與統(tǒng)計(jì)

分析：（1）由樣本數(shù)據(jù)知，30件產(chǎn)品中一等品有6件，二等品有9件，三等品有15件，由此能分別估計(jì)該廠生產(chǎn)的產(chǎn)品的一等品率、二等品率和三等品率．
（2）設(shè)取得一等品件數(shù)為X，則有Y=10x+2（3-x）=8X+6，由X～B（3，0.2），能求出E（x）=0.6，從而求出E（Y）=8E（x）+6=10.8元．

解答： 解：（1）由樣本數(shù)據(jù)知，30件產(chǎn)品中等級(jí)系數(shù)ξ≥7，有6件，
即一等品有6件，二等品有9件，三等品有15件
∴一等品的頻率為

6

30

=0.2，故估計(jì)該廠生產(chǎn)的產(chǎn)品的一等品率為0.2．
二等品的頻率為

9

30

=0.3，故估計(jì)該廠生產(chǎn)的產(chǎn)品的二等品率為0.3；
三等品的頻率為

15

30

=0.5，故估計(jì)該廠生產(chǎn)的產(chǎn)品的三等品的頻率為0.5．
（2）設(shè)取得一等品件數(shù)為X，則有Y=10x+2（3-x）=8X+6．
X～B（3，0.2）
∴X的分布列為

x	0	1	2	3
P（x）	0.512	0.384	0.096	0.008

∵X～B（3，0.2）∴E（x）=0.6．
E（Y）=8E（x）+6=10.8元．

點(diǎn)評(píng)：本題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法及應(yīng)用，是中檔題，在歷年高考中都是必考題型．