Question

【題目】如圖，三棱柱中， 平面， ， .過的平面交于點，交于點.

(l)求證： 平面；

(Ⅱ)求證：四邊形為平行四邊形；

(Ⅲ)若是，求二面角的大小．

Answer 1

【答案】(1)見解析(2) 見解析(3)

【解析】試題分析：（Ⅰ）由線面垂直的性質(zhì) 可得，由菱形的性質(zhì)可得．從而由線面垂直的判定定理可得平面；（Ⅱ）先證明平面，再根據(jù)線面平行的性質(zhì)可得，根據(jù)面面平行的性質(zhì)可得，從而得四邊形為平行四邊形；（Ⅲ）在平面內(nèi)，過作．因為 平面，所以，以 為軸建立空間直角坐標系，可知平面的法向量為，根據(jù)向量垂直數(shù)量積為零列方程組求出平面的法向量，利用空間向量夾角余弦公式可得結(jié)果.

試題解析：（Ⅰ）因為 平面，所以 ．

因為 三棱柱中， ，所以 四邊形為菱形，

所以 ． 與在平面內(nèi)相交.

所以 平面．

（Ⅱ）因為 ， 平面，所以 平面．

因為 平面平面，所以 ．

因為 平面平面，

平面平面，平面平面，

所以 ．

所以 四邊形為平行四邊形．

（Ⅲ）在平面內(nèi)，過作．

因為 平面，

如圖建立空間直角坐標系．

由題意得， ， ， ， ， ．

因為 ，所以 ，

所以 ．

由（Ⅰ）得平面的法向量為．

設(shè)平面的法向量為，

則 即

令，則， ，所以 ．

所以 ．

由圖知 二面角的平面角是銳角，

所以 二面角的大小為．

【方法點晴】本題主要考查線面垂直的判定定理、線面平行的性質(zhì)、面面平行的直線以及利用空間向量求二面角，屬于難題. 空間向量解答立體幾何問題的一般步驟是：（1）觀察圖形，建立恰當?shù)目臻g直角坐標系；（2）寫出相應(yīng)點的坐標，求出相應(yīng)直線的方向向量；（3）設(shè)出相應(yīng)平面的法向量，利用兩直線垂直數(shù)量積為零列出方程組求出法向量；（4）將空間位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為向量關(guān)系；（5）根據(jù)定理結(jié)論求出相應(yīng)的角和距離.