Question

【題目】如圖，邊長為的正方形與梯形所在的平面互相垂直，已知，，，點(diǎn)在線段上.

（1）證明：平面平面；

（2）判斷點(diǎn)的位置，使得平面與平面所成的銳二面角為.

Answer 1

【答案】（1）證明過程見詳解；（2）點(diǎn)在線段的靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)處.

【解析】

（1）先由題中數(shù)據(jù)，根據(jù)勾股定理，得到，再由面面垂直的性質(zhì)定理，得到，根據(jù)線面垂直的判定定理，以及面面垂直的判定定理，即可證明結(jié)論成立；

（2）先在面內(nèi)過點(diǎn)作，垂足為，根據(jù)題意，得到；，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為軸，所在直線為軸，所在直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，因?yàn)辄c(diǎn)在線段上，所以可設(shè)，得到，再分別求出平面與平面的一個(gè)法向量，根據(jù)向量夾角公式，以及題中條件，即可求出結(jié)果.

（1）因?yàn)榈酌?/span>為梯形，，，所以，

又，所以，

因?yàn)?/span>，正方形邊長為，

所以，因此，

又因?yàn)槠矫?/span>平面，，平面平面，

所以平面，因此，

又，所以平面；

因?yàn)?/span>平面，所以平面平面；

（2）在面內(nèi)過點(diǎn)作，垂足為，因?yàn)?/span>，所以；

又因?yàn)?/span>平面，所以；

以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為軸，所在直線為軸，所在直線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則，，，，

設(shè)，因?yàn)辄c(diǎn)在線段上，所以可設(shè)，

即，

所以，即，

設(shè)平面的一個(gè)法向量為，

則，所以，令，則，

又易知：平面，所以為平面的一個(gè)法向量，

所以，

解得：，所以，

即，點(diǎn)點(diǎn)在線段的靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)處.