Question

從社會(huì)效益和經(jīng)濟(jì)效益出發(fā)，某地投入資金進(jìn)行生態(tài)環(huán)境建設(shè)，并以此發(fā)展旅游產(chǎn)業(yè)．根據(jù)規(guī)劃，本年度投入800萬元，以后每年投入將比上年減少

1

5

，本年度當(dāng)?shù)芈糜螛I(yè)收入估計(jì)為400萬元，由于該項(xiàng)建設(shè)對(duì)旅游業(yè)的促進(jìn)作用，預(yù)計(jì)今后的旅游業(yè)收入每年會(huì)比上年增加

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4

．
（1）設(shè)n年內(nèi)（本年度為第1年）總投人為a_n萬元，旅游業(yè)總收入為b_n萬元，寫出a_n，b_n的表達(dá)式；
（2）至少經(jīng)過幾年，旅游業(yè)的總收人才能超過總投入？

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的應(yīng)用

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）依次寫出第1年投入量，第2年投入量，等等，第n年投入量，從而求出n年內(nèi)的總投入量a_n，進(jìn)而求出a_n，b_n的表達(dá)式．
（2）先設(shè)至少經(jīng)過n年旅游業(yè)的總收入才能超過總投入，由b_n-a_n＞0，解得n的取值范圍即可．

解答： 解：（1）第1年投入為800萬元，第2年投入為800×(1-

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)萬元，第n年投入為800×(1-

1

5

)n-1萬元，
所以n年內(nèi)的總投入為an=800+800×

4

5

+…+800×(

4

5

)n-1=4000×[1-(

4

5

)n]．
第1年旅游業(yè)收入為400萬元，第2年旅游業(yè)收入為400×(1+

1

4

)=400×

5

4

=500萬元．
第n年旅游業(yè)收入為400×(1+

1

4

)n-1=400×(

5

4

)n-1萬元，
所以n年內(nèi)的旅游業(yè)總收入為bn=400+400×

5

4

+…+400×(

5

4

)n-1=1600×[(

5

4

)n-1]萬元．
（2）設(shè)至少經(jīng)過n年旅游業(yè)的總收入才能超過總投入，由此b_n-a_n＞0，即1600×[(

5

4

)n-1]-4000×[1-(

4

5

)n]＞0，
化簡得2×(

5

4

)n+5×(

4

5

)n-7＞0，設(shè)t=（

4

5

）ⁿ，則不等式等價(jià)為5t²-7t+2＞0，解得t＜

2

5

或t＞1(舍去)．
即(

4

5

)n＜

2

5

，解得n≥5，即至少經(jīng)過5年旅游業(yè)的總收入才能超過總投入．

點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查數(shù)列的基本應(yīng)用、數(shù)列求和、不等式等基礎(chǔ)知識(shí)；考查綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題的能力．