【題目】已知數(shù)列{an}滿足:a1=,an+1=(n∈N*).(其中e為自然對數(shù)的底數(shù),e=2.71828…)
(1)證明:an+1>an(n∈N*);
(2)設(shè)bn=1-an,是否存在實數(shù)M>0,使得b1+b2+…+bn≤M對任意n∈N*成立?若存在,求出M的一個值;若不存在,請說明理由.
【答案】(1)證明見解析(2)不存在,理由見解析
【解析】
(1)構(gòu)造函數(shù)證明即可得證;
(2)先用數(shù)學(xué)歸納法證明,則bn=1-an,取,通過轉(zhuǎn)化即可證明.
考慮函數(shù),則,
由得,由得,
所以函數(shù)在單調(diào)遞減,單調(diào)遞增,
所以,即,當且僅當時取得等號,
所以,當?shù)忍柍闪r,即,但a1=,
所以an+1>an(n∈N*);
(2)不存在,理由如下:
先用數(shù)學(xué)歸納法證明
當n=1時,滿足題意;
假設(shè)當n=k時命題成立,即成立,
那么當n=k+1時,,
即當n=k+1時,命題也成立,
所以對于一切n∈N*,都有,
bn=1-an,取,
即,
所以對于任意實數(shù)M>0,取t>2M,且,
有
所以不存在滿足條件的M.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在四棱錐中,,底面為直角梯形,,,,為線段上一點.
(I)若,求證:平面;
(II)若,,異面直線與成角,二面角的余弦值為,求的長及直線與平面所成角的正弦值.
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【題目】某工廠生產(chǎn)的產(chǎn)品中分正品與次品,正品重,次品重,現(xiàn)有5袋產(chǎn)品(每袋裝有10個產(chǎn)品),已知其中有且只有一袋次品(10個產(chǎn)品均為次品)如果將5袋產(chǎn)品以1~5編號,第袋取出個產(chǎn)品(),并將取出的產(chǎn)品一起用秤(可以稱出物體重量的工具)稱出其重量,若次品所在的袋子的編號是2,此時的重量_________;若次品所在的袋子的編號是,此時的重量_______.
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【題目】已知為坐標原點,點在圓:上.
(1)求實數(shù)的值;
(2)求過圓心且與直線平行的直線的方程;
(3)過點作互相垂直的直線,,與圓交于兩點,與圓交于兩點,求的最大值.
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【題目】噪聲污染已經(jīng)成為影響人們身體健康和生活質(zhì)量的嚴重問題,為了了解強度(單位:分貝)與聲音能量(單位:)之間的關(guān)系,將測量得到的聲音強度和聲音能量數(shù)據(jù)作了初步處理,得到下面的散點圖及一些統(tǒng)計量的值.
表中,
(1)根據(jù)表中數(shù)據(jù),求聲音強度關(guān)于聲音能量的回歸方程;
(2)當聲音強度大于60分貝時屬于噪音,會產(chǎn)生噪聲污染,城市中某點共受到兩個聲源的影響,這兩個聲源的聲音能量分別是和,且.已知點的聲音能量等于聲音能量與之和.請根據(jù)(1)中的回歸方程,判斷點是否受到噪聲污染的干擾,并說明理由.
附:對于一組數(shù)據(jù),其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計分別為:,
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【題目】如圖,已知六個直角邊均為1和的直角三角形圍成的兩個正六邊形,則該圖形繞著旋轉(zhuǎn)一周得到的幾何體的體積為( )
A.B.C.D.
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【題目】已知函數(shù)(,為自然對數(shù)的底數(shù)).
(1)若函數(shù)存在極值點,求的取值范圍;
(2)設(shè),若不等式在上恒成立,求的最大整數(shù)值.
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【題目】如圖是某手機商城2018年華為、蘋果、三星三種品牌的手機各季度銷量的百分比堆積圖(如:第三季度華為銷量約占50%,蘋果銷量約占20%,三星銷量約占30%).根據(jù)該圖,以下結(jié)論中一定正確的是( 。
A.華為的全年銷量最大B.蘋果第二季度的銷量大于第三季度的銷量
C.華為銷量最大的是第四季度D.三星銷量最小的是第四季度
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