【題目】已知三棱錐的棱長均為6，其內(nèi)有個小球，球與三棱錐的四個面都相切，球與三棱錐的三個面和球都相切，如此類推，…，球與三棱錐的三個面和球都相切（，且），則球的體積等于__________，球的表面積等于__________.

【答案】

【解析】

由正四面體的內(nèi)切球的半徑是高的可求得的半徑，得其體積，把底面向上平移，平移到與內(nèi)切球相切，這個平面以上的部分仍然是正四面體，而第二個球就是這個正四面體的內(nèi)切球，此球半徑是第一個球半徑的一半，依次類推可得第個球．

如圖，是三棱錐的高，是的外心，設，則，，

是三棱錐的外接球和內(nèi)切球的球心，在上，

設外接球半徑為，內(nèi)切球半徑為，則由得，，所以，

，

，

過中點作與底面平行的平面與三條棱交于點，則平面與球相切，由題意球是三棱錐的內(nèi)切球，注意到三棱錐的棱長是三棱錐棱長的，所以有其內(nèi)切球半徑，同理球的半徑為，則是僅比為的等比數(shù)列，所以，即，

．

故答案為：；．

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，側(cè)面ABB1A1是菱形，且CA＝CB1．

（1）證明：面CBA1⊥面CB1A；

（2）若∠BAA1＝60°，A1C＝BC＝BA1，求二面角C﹣A1B1﹣C1的余弦值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】在全面抗擊新冠肺炎疫情這一特殊時期，我市教育局提出“停課不停學”的口號，鼓勵學生線上學習.某校數(shù)學教師為了調(diào)查高三學生數(shù)學成績與線上學習時間之間的相關關系，對高三年級隨機選取45名學生進行跟蹤問卷，其中每周線上學習數(shù)學時間不少于5小時的有19人，余下的人中，在檢測考試中數(shù)學平均成績不足120分的占，統(tǒng)計成績后得到如下列聯(lián)表：

分數(shù)不少于120分

分數(shù)不足120分

合計

線上學習時間不少于5小時

4

19

線上學習時間不足5小時

合計

45

（1）請完成上面列聯(lián)表；并判斷是否有99%的把握認為“高三學生的數(shù)學成績與學生線上學習時間有關”；

（2）①按照分層抽樣的方法，在上述樣本中從分數(shù)不少于120分和分數(shù)不足120分的兩組學生中抽取9名學生，設抽到不足120分且每周線上學習時間不足5小時的人數(shù)是，求的分布列（概率用組合數(shù)算式表示）；

②若將頻率視為概率，從全校高三該次檢測數(shù)學成績不少于120分的學生中隨機抽取20人，求這些人中每周線上學習時間不少于5小時的人數(shù)的期望和方差.

（下面的臨界值表供參考）

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

（參考公式其中）

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知橢圓的焦距為2，且長軸長是短軸長的倍.

（1）求橢圓的標準方程；

（2）若過橢圓左焦點的直線交橢圓于兩點，點在軸非負半軸上，且點到坐標原點的距離為2，求取得最大值時的面積.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】設數(shù)列的前項和，對任意，都有（為常數(shù)）．

（1）當時，求；

（2）當時，

（�。┣笞C：數(shù)列是等差數(shù)列；

（ⅱ）若對任意，必存在使得，已知，且，求數(shù)列的通項公式．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知某企業(yè)近3年的前7個月的月利潤（單位：百萬元）如下面的折線圖所示：

（1）試問這3年的前7個月中哪個月的月平均利潤最高？

（2）通過計算判斷這3年的前7個月的總利潤的發(fā)展趨勢；

（3）試以第3年的前4個月的數(shù)據(jù)（如下表），用線性回歸的擬合模式估測第3年8月份的利潤．

月份x

1

2

3

4

利潤y（單位：百萬元）

4

4

6

6

相關公式： ， ．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】多面體歐拉定理是指對于簡單多面體，其各維對象數(shù)總滿足一定的數(shù)量關系，在三維空間中，多面體歐拉定理可表示為：頂點數(shù)＋表面數(shù)－棱長數(shù)＝2.在數(shù)學上，富勒烯的結(jié)構(gòu)都是以正五邊形和正六邊形面組成的凸多面體，例如富勒烯（結(jié)構(gòu)圖如圖）是單純用碳原子組成的穩(wěn)定分子，具有60個頂點和32個面，其中12個為正五邊形，20個為正六邊形.除外具有封閉籠狀結(jié)構(gòu)的富勒烯還可能有，，，，，，，等，則結(jié)構(gòu)含有正六邊形的個數(shù)為（ ）

A.12B.24C.30D.32

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】在平面直角坐標系中，以坐標原點O為極點，x軸正半軸為極軸，建立極坐標系，點，（）在曲線C：上，直線l過點且與垂直，垂足為P．

（Ⅰ）當時，求在直角坐標系下點P坐標和l的方程；

（Ⅱ）當M在C上運動且P在線段上時，求點P在極坐標系下的軌跡方程．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】(2017·衢州調(diào)研)已知四棱錐P－ABCD的底面ABCD是菱形，∠ADC＝120°，AD的中點M是頂點P在底面ABCD的射影，N是PC的中點.

(1)求證：平面MPB⊥平面PBC；

(2)若MP＝MC，求直線BN與平面PMC所成角的正弦值.

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