Question

已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，a_n+1=2a_n+1（n∈N⁺），
（1）令b_n=a_n+1，求證：數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列；
（2）求a_n的表達(dá)式．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列遞推式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列,點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法

分析：本題先證明新構(gòu)造的數(shù)列成等比，求出新數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)，再求出原數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．

解答： 解：（1）∵a₁=1，
∴a₁+1≠0．
∵a_n+1=2a_n+1（n∈N⁺），
∴a_n+1+1=2（a_n+1），
且a_n+1≠0．
∴

an+1+1

an+1

=2，n∈N^*．
∵b_n=a_n+1，
∴b₁=2，

bn+1

bn

=2．
∴數(shù)列{b_n}是首項(xiàng)為2，公式為2的等比數(shù)列．
（2）由（1）可知bn=2n，
a_n的表達(dá)式為：an=2n-1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了等差數(shù)列的定義、通項(xiàng)公式，還考查了構(gòu)造新數(shù)列的思想方法，本題難度適中，屬于中檔題．