Question

16．某工廠統(tǒng)計資料顯示，該廠生產(chǎn)的某種產(chǎn)品次品率p與日產(chǎn)量x（千克）（x∈N，且11≤x≤100）的關(guān)系如表，

x	11	12	13	14	…	99	100
p	$\frac{2}{97}$	$\frac{1}{48}$	$\frac{2}{95}$	$\frac{1}{47}$	…	$\frac{1}{9}$	$\frac{1}{4}$

且已知每生產(chǎn)1千克正品盈利a元，每生產(chǎn)1千克次品損失$\frac{a}{2}$元（a＞0）．
（1）寫出生產(chǎn)該產(chǎn)品的日盈利額T（元）表示為日產(chǎn)量x的一個函數(shù)關(guān)系式；
（2）為了獲得最大盈利，該廠生產(chǎn)該產(chǎn)品的日產(chǎn)量應(yīng)定為多少千克？

Answer 1

分析 （1）根據(jù)表格，先確定p=$\frac{2}{108-x}$，x中次品有xp，正品有（x-xp），進(jìn)而可得該廠日盈利額T關(guān)于日產(chǎn)量x的函數(shù)；
（2）利用基本不等式可確定函數(shù)的最值．

解答 解：（1）由題意知 p=$\frac{2}{108-x}$，x中次品有xp，正品有（x-xp）
所以該廠日盈利額T=a（x-xp）-$\frac{a}{2}$xp=a（x-$\frac{3p}{2}$x）=a（x-$\frac{3x}{108-x}$），（11≤x≤100，x∈N^*）
（2）T=a（x-$\frac{3x}{108-x}$）=a[x-$\frac{3（x-108）+324}{108-x}$]=a（x+3-$\frac{324}{108-x}$）
=a（x-108+105-$\frac{324}{108-x}$）
=a[-（108-x）-$\frac{324}{108-x}$）+105]≤a[105+2$\sqrt{-（108-x）•（-\frac{324}{108-x}}）$]=a（105+36）=141a
當(dāng)且僅當(dāng)-（108-x）=-$\frac{324}{108-x}$），即x=90，取等號
∵11≤x≤100，
∴x=90時，該廠盈利最大．
即為了獲得最大盈利，該廠生產(chǎn)該產(chǎn)品的日產(chǎn)量應(yīng)定為90千克．

點評 本題考查函數(shù)模型的構(gòu)建，考查利用基本不等式求函數(shù)的最值，確定函數(shù)模型是關(guān)鍵．