Question

在△ABC中，a、b、c分別是內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊，cos2B+3cos（A+C）+2=0．
（Ⅰ）求sinB的值；
（Ⅱ）若△ABC外接圓的面積為4π，且C=75°，求△ABC的面積．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用已知條件已經(jīng)三角形的內(nèi)角和，求出cosB，然后求sinB的值；
（Ⅱ）求出△ABC外接圓的半徑，利用正弦定理以及三角形面積為4π，求出a，b結(jié)合C=75°，求△ABC的面積．

解答：解：（Ⅰ）∵cos2B+3cos（A+C）+2=0．
A+B+C=π，
∴cosB=

1

2

或cosB=1，B∈（0，π）
∴sinB=

1-cos2B

=

3

2

．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知B=60°，設(shè)外接圓的半徑為R，則πR²=4π，∴R=2，
∵

b

sinB

=2R，∴b=2

3

，A=π-B-C=45°，

a

sinA

=2R得：a=2RsinA=2

2

，
且sin75°=sin（30°+45°）=

6 + 2

4

，
∴S=

1

2

absinC=3+

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題是中檔題，考查三角形的面積公式，外接圓的知識(shí)已經(jīng)正弦定理的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用．