Question

已知四棱錐P-ABCD的底面為直角梯形，AB∥DC，∠DAB=90°，PA⊥底面ABCD，且PA=AD=DC=

1

2

AB=1，M是PB的中點．
（1）證明：面PAD⊥面PCD；
（2）求AC與PB所成的角的余弦值；
（3）求二面角A-MC-B的余弦值．

Answer 1

考點：二面角的平面角及求法,異面直線及其所成的角,平面與平面垂直的判定

專題：綜合題,空間位置關系與距離,空間角

分析：（1）因為PA⊥AD，PA⊥AB，AD⊥AB，以A為坐標原點，以AD長為單位長度，以AD為x軸，以AB為y軸，以AP為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能夠證明面PAD⊥面PCD．
（2）由

AC

=(1，1，0)，

PB

=(0，2，-1)，利用向量法能夠求出AC與PB所成的角．
（3）求出平面AMC、平面BMC的一個法向量，利用向量的夾角公式，即可求二面角A-MC-B的余弦值．

解答： （1）證明：因為PA⊥PD，PA⊥AB，AD⊥AB，以A為坐標原點，AD長為單位長度，如圖建立空間直角坐標系，則各點坐標為A（0，0，0）B（0，2，0），C（1，1，0），D（1，0，0），P（0，0，1），M（0，1，

1

2

)．

AP

=(0，0，1)，

DC

=(0，1，0)，故

AP

•

DC

=0，所以AP⊥DC
由題設知AD⊥DC，且AP與AD是平面PAD內(nèi)的兩條相交直線，
由此得DC⊥面PAD．又DC在面PCD上，故面PAD⊥面PCD．…（4分）
（2）解：∵

AC

=(1，1，0)，

PB

=(0，2，-1)，
∴cos＜

AC

，

PB

＞=

AC • PB

| AC || PB |

=

10

5

，
∴AC與PB所成角的余弦值為

10

5

…（8分）
（3）解：設

n

=(x，y，z)，

n

⊥平面AMC，
∵

AC

=（1，1，0），

AM

=（0，1，

1

2

)，
∴

x+y=0 y+ z 2 =0

，
可得

n

=(-1，1，-2)，
同理可得平面BMC的一個法向量

m

=(1，1，2)，
∴cosθ=

m • n

| m || n |

=-

2

3

∴所求二面角的余弦值為-

2

3

…（12分）

點評：本題考查平面與平面垂直的證明，考查空間中異面直線所成角的大小的求法，考查二面角的余弦值．解題時要認真審題，仔細解答，注意向量法的合理運用．