Question

14．已知函數(shù)f（x）=cosxcos（x+$\frac{π}{3}$）．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若f（c）=-$\frac{1}{4}$，a=2，且△ABC的面積為2$\sqrt{3}$，求邊長c的值．

Answer 1

分析 （1）由三角函數(shù)公式化簡可得f（x）=$\frac{1}{2}$cos（2x+$\frac{π}{3}$）+$\frac{1}{4}$，由周期公式可得；
（2）結(jié)合（1）可得C=$\frac{π}{3}$，由題意和面積公式可得ab的值，進(jìn)而由余弦定理可得c值．

解答 解：（1）化簡可得f（x）=cosxcos（x+$\frac{π}{3}$）
=cosx（$\frac{1}{2}$cosx-$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinx）=$\frac{1}{2}$cos²x-$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinxcosx
=$\frac{1+cos2x}{4}$-$\frac{\sqrt{3}}{4}$sin2x=$\frac{1}{2}$cos（2x+$\frac{π}{3}$）+$\frac{1}{4}$，
∴f（x）的最小正周期T=$\frac{2π}{2}$=π；
（2）由題意可得f（C）=$\frac{1}{2}$cos（2C+$\frac{π}{3}$）+$\frac{1}{4}$=-$\frac{1}{4}$，
∴cos（2C+$\frac{π}{3}$）=-1，∴C=$\frac{π}{3}$，
又∵△ABC的面積S=$\frac{1}{2}$absinC=$\frac{\sqrt{3}}{4}$ab=2$\sqrt{3}$，
∴ab=8，∴b=$\frac{8}{a}$=$\frac{8}{2}$=4，
由余弦定理可得c²=a²+b²-2abcosC=12，
∴c=2$\sqrt{3}$

點(diǎn)評(píng) 本題考查余弦定理，涉及三角函數(shù)的周期性和三角形的面積公式，屬中檔題．