已知函數(shù)f（x）=xlnx+（4-x）ln（4-x），若a＞0，b＞0，證明：alna+blnb≥（a+b）ln
a+b
2
．
考點：導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用,對數(shù)函數(shù)圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用
專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用
分析：通過函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用函數(shù)的最小值，然后證明：對a＞0，b＞0，都有alna+blnb≥（a+b）ln
a+b
2
；
解答： 解：∵f（x）=xlnx+（4-x）ln（4-x），
∴f′（x）=lnx-ln（4-x）=ln
x
4-x
．
∴當x=2時，函數(shù)f（x）有最小值．a(chǎn)＞0，b＞0，
不妨設(shè)a+b=4，
則alna+blnb=alna+（4-a）ln（4-a）≥2•
a+b
2
ln（
a+b
2
）=（a+b）ln
a+b
2
．
∴alna+blnb≥（a+b）ln
a+b
2
．
點評：本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，不等式的證明方法，考查轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用．
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

4張卡片上分別寫有數(shù)字1，2，3，4，從這4張卡片中隨機抽取2張，則取出的2張卡片上的數(shù)學(xué)之和為偶數(shù)的概率是（　�。�
A、
1
2
B、
1
3
C、
2
3
D、
3
4

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知i是虛數(shù)單位，a∈R．若復(fù)數(shù)
a+2i
a-2i
為實數(shù)，則a=（　�。�
A、
1
4
B、1
C、0
D、2±2
2

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知數(shù)列{an}的各項均為正數(shù)，前n項和為Sn，且Sn=
an(an+1)
2
（n∈N*）．
（1）求數(shù)列{an}的通項公式；
（2）設(shè)bn=-
2Sn
(n+1)•2n
，Tn=b1+b2+…+bn，求Tn．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

若數(shù)列{An}滿足An+1=An2，則稱數(shù)列{An}為“平方遞推數(shù)列”．已知數(shù)列{an}中，a1=9，點（an，an+1）在函數(shù)f（x）=x2+2x的圖象上，其中n為正整數(shù)．
（Ⅰ）證明數(shù)列{an+1}是“平方遞推數(shù)列”，且數(shù)列{lg（an+1）}為等比數(shù)列；
（Ⅱ）設(shè)（Ⅰ）中“平方遞推數(shù)列”的前n項積為Tn，即Tn=（a1+1）（a2+1）…（an+1），求lgTn；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，記bn=
lgTn
lg(an+1)
，求數(shù)列{bn}的前n項和Sn，并求使Sn＞4026的n的最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=x3-3ax+b，（a，b∈R）．
（Ⅰ）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）曲線y=f（x）在x=0處的切線方程為3ax+y-2a=0，且y=f（x）與x軸有且只有一個公共點，求a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=
1
x
+alnx．
（Ⅰ）若f（x）＞0恒成立，試求a的取值范圍；
（Ⅱ）設(shè)h（x）=f（x）+ax-lnx，a∈[1，e]（e為自然對數(shù)的底），是否存在常數(shù)t，使h（x）≥t恒成立，若存在，求出t的取值范圍；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

從1，2，3，4中隨機取出兩個不同的數(shù)，則其和為奇數(shù)的概率為
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在(
x
+
a
x
)6（a＞0）的展開式中含常數(shù)項的系數(shù)是60，則
∫
a
0
sinxdx的值為
 
．

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同步練習冊答案