Question

11．已知函數(shù)f（x）=-$\frac{1}{3}$x³+x²+3x+a（a∈R）．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間；
（2）若函數(shù)f（x）在區(qū)間[-4，4]上的最大值為26，求a的值．

Answer 1

分析 （1）求出導數(shù)，令導數(shù)大于0，解不等式即可得到所求增區(qū)間；
（2）求得f（x）在區(qū)間[-4，4]內(nèi)的單調(diào)區(qū)間，求得極值，以及端點處的函數(shù)值，可得最大值，解方程可得a的值．

解答 解：（1）$f（x）=-\frac{1}{3}{x^3}+{x^2}+3x+a$，
則f′（x）=-x²+2x+3，
令f′（x）＞0，即-x²+2x+3＞0，解得-1＜x＜3，
所以函數(shù)f（x）的單調(diào)減區(qū)間為（-1，3）．
（2）由函數(shù)在區(qū)間[-4，4]內(nèi)的列表可知：

x	-4	（-4，-1）	-1	（-1，3）	3	（3，4）	4
f′（x）		-	0	+	0	-
f（x）		遞減	極小值	遞增	極大值	遞減

函數(shù)f（x）在（-4，-1）和（3，4）上分別是減函數(shù)，在（-1，3）上是增函數(shù)．
又因為$f（-4）=a+\frac{76}{3}，f（3）=a+9$，所以f（-4）＞f（3），
所以f（-4）是f（x）在[-4，4]上的最大值，
所以$a+\frac{76}{3}=26$，即$a=\frac{2}{3}$．

點評 本題考查導數(shù)的運用：求單調(diào)區(qū)間和極值、最值，考查運算能力，屬于基礎題．