Question

4．設(shè)拋物線C：y²=2x的焦點(diǎn)為F，直線l過(guò)F與C交于A，B兩點(diǎn)，若|AF|=3|BF|，則l的方程為$y=±\sqrt{3}（x-\frac{1}{2}）$．

Answer 1

分析 由題意設(shè)出直線AB的方程，聯(lián)立直線和拋物線方程，利用韋達(dá)定理，結(jié)合|AF|=3|BF|得到x₁=3x₂+2，求出k得答案．

解答 解：由y²=2x，得F（$\frac{1}{2}$，0），
設(shè)AB所在直線方程為y=k（x-$\frac{1}{2}$），
代入y²=2x，得k²x²-（k²+2）x+$\frac{1}{4}$k²=0．
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁+x₂=1+$\frac{2}{{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{1}{4}$
結(jié)合|AF|=3|BF|，x₁+$\frac{1}{2}$=3（x₂+$\frac{1}{2}$）
解方程得k=±$\sqrt{3}$．
∴直線L的方程為$y=±\sqrt{3}（x-\frac{1}{2}）$．
故答案為：$y=±\sqrt{3}（x-\frac{1}{2}）$

點(diǎn)評(píng) 本題考查了拋物線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，考查了拋物線的定義，考查了學(xué)生的計(jì)算能力，是中檔題．