Question

3．設(shè)a＞0，b＞0，則下列不等式中不恒成立的是（　�。�

• A． $（a+b）（\frac{1}{a}+\frac{1}）≥4$
• B． a³+b³≥2ab²
• C． $\sqrt{|a-b|}≥\sqrt{a}-\sqrt$
• D． a²+b²+2≥2a+2b

Answer 1

分析 A．$（a+b）（\frac{1}{a}+\frac{1}）$=2+$\frac{a}$+$\frac{a}$，再利用基本不等式的性質(zhì)即可得出；
B．作差：a³+b³-2ab²=（a-b）（a²+ab-b²），取a=1.5，b=2時(shí)，即可判斷出正誤；
C．分類討論：當(dāng)0≤a≤b時(shí)，左邊≥0≥右邊，此時(shí)成立；當(dāng)0≤b＜a時(shí)，平方作差$（\sqrt{|a-b|}）^{2}-（\sqrt{a}-\sqrt）^{2}$═$2\sqrt（\sqrt{a}-\sqrt）$，即可判斷出正誤．
D．作差配方可得：a²+b²+2-2a-2b=（a-1）²+（b-1）²≥0，即可判斷出正誤．

解答 解：對(duì)于A，∵a＞0，b＞0，∴$（a+b）（\frac{1}{a}+\frac{1}）$=2+$\frac{a}$+$\frac{a}$≥2+$2\sqrt{\frac{a}•\frac{a}}$=4，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào)，因此恒成立．
對(duì)于B，a³+b³-2ab²=（a-b）（a²+ab-b²），取a=1.5，b=2時(shí)，a³+b³-2ab²＜0，因此不恒成立；
對(duì)于C，當(dāng)0≤a≤b時(shí)，左邊≥0，右邊≤0，此時(shí)成立；當(dāng)0≤b＜a時(shí)，$（\sqrt{|a-b|}）^{2}-（\sqrt{a}-\sqrt）^{2}$=$（\sqrt{a}-\sqrt）$$（\sqrt{a}+\sqrt-\sqrt{a}+\sqrt）$=$2\sqrt（\sqrt{a}-\sqrt）$≥0，此時(shí)成立，
綜上可得，不等式恒成立．
對(duì)于D，a²+b²+2-2a-2b=（a-1）²+（b-1）²≥0，∴a²+b²+2≥2a+2b，因此恒成立．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了不等式與基本不等式的性質(zhì)、“作差法”，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．