【題目】已知函數(shù).

1)當時,求函數(shù)的單調性;

2)當時,,求函數(shù)上的最小值;

3)當時,有兩個零點,,且,求證:.

【答案】(1)上單調遞增(2)(3)證明見解析

【解析】

1)求得函數(shù)的導數(shù),結合導數(shù)的符號,即可求得函數(shù)的單調性;

2)由,求得,分類討論求得函數(shù)的單調性與極值,進而求得函數(shù)的最小值,得到答案.

3)由,根據(jù)題意,得到,,

兩式相減,,令,得到函數(shù),利用導數(shù)求得函數(shù)的單調性與最值,即可求解.

1)由題意,函數(shù),則,

又∵,∴,,∴

上單調遞增.

2)由,則,

1)當時,,,

此時圖數(shù)在區(qū)間上單調遞減,

∴函數(shù)處取得最小值,即;

2)當時,令,

時,即當,,,

此時函數(shù)在區(qū)間上單調遞減,函數(shù)處取得最小值,

;

綜上所得.

3)證明:根據(jù)題意,,

,是函數(shù)的兩個零點,

.

兩式相減,可得,即,

,則,.

,,則.

,,則.

又∵,∴恒成立,故,即.

可得,∴.

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