Question

9．設(shè)函數(shù)f（x）=ax+cosx，
（1）討論函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，π]內(nèi)的單調(diào)性；
（2）若f（x）≤1+sinx對(duì)x∈[0，π]恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求導(dǎo)函數(shù)，可得f'（x）=a-sinx，x∈[0．π]，sinx∈[0，1]，對(duì)a進(jìn)行分類討論，即可確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）由f（x）≤1+sinx得f（π）≤1，aπ-1≤1，可得a≤$\frac{2}{π}$，構(gòu)造函數(shù)g（x）=sinx-$\frac{2}{π}$x（0≤x≤$\frac{π}{2}$），可得g（x）≥0（0≤x≤$\frac{π}{2}$），再考慮：①0≤x≤$\frac{π}{2}$；②$\frac{π}{2}$≤x≤π，即可得到結(jié)論．

解答 解：（Ⅰ）求導(dǎo)函數(shù)，可得f'（x）=a-sinx，x∈[0，π]，sinx∈[0，1]；
當(dāng)a≤0時(shí)，f'（x）≤0恒成立，f（x）單調(diào)遞減；當(dāng)a≥1 時(shí)，f'（x）≥0恒成立，f（x）單調(diào)遞增；
當(dāng)0＜a＜1時(shí)，由f'（x）=0得x₁=arcsina，x₂=π-arcsina
當(dāng)x∈[0，x₁]時(shí)，sinx＜a，f'（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增
當(dāng)x∈[x₁，x₂]時(shí)，sinx＞a，f'（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減
當(dāng)x∈[x₂，π]時(shí)，sinx＜a，f'（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增
當(dāng)x∈[0，arcsina]時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)x∈[arcsina，π]時(shí)，單調(diào)遞減；
（Ⅱ）由f（x）≤1+sinx得f（π）≤1，aπ-1≤1，∴a≤$\frac{2}{π}$．
令g（x）=sinx-$\frac{2}{π}$x（0≤x≤$\frac{π}{2}$），則g′（x）=cosx-$\frac{2}{π}$，當(dāng)x∈（0，arccos$\frac{2}{π}$）時(shí)，g′（x）＞0，當(dāng)x∈（arccos$\frac{2}{π}$，$\frac{π}{2}$）時(shí)，g′（x）＜0
∵g（0）=g（$\frac{π}{2}$）=0，∴g（x）≥0，即$\frac{2}{π}$x≤sinx（0≤x≤$\frac{π}{2}$），
當(dāng)a≤$\frac{2}{π}$時(shí)，有f（x）≤$\frac{2}{π}$x+cosx
①當(dāng)0≤x≤$\frac{π}{2}$時(shí)，$\frac{2}{π}$x≤sinx，cosx≤1，所以f（x）≤1+sinx；
②當(dāng)$\frac{π}{2}$≤x≤π時(shí)，f（x）≤$\frac{2}{π}$x+cosx=1+$\frac{2}{π}$（x-$\frac{π}{2}$）-sin（x-$\frac{π}{2}$）≤1+sinx
綜上，a≤$\frac{2}{π}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查函數(shù)的最值，解題的關(guān)鍵是正確求導(dǎo)，確定函數(shù)的單調(diào)性．