Question

11．已知函數(shù)f（x）=$\frac{{e}^{x}}{{x}^{2}-ax+1}$（其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，e=2.71828…）．
（1）當(dāng)a=0時(shí)，求函數(shù)y=f（x）的圖象在點(diǎn)x=0處的切線方程；
（2）當(dāng)a∈（0，2）時(shí)，試求函數(shù)f（x）的極值；
（3）若a∈[0，$\frac{1}{2}$]，則當(dāng)x∈[0，a+1]時(shí)，函數(shù)y=f（x）的圖象是否總在不等式y(tǒng)＞x所表示的平面區(qū)域內(nèi)，請(qǐng)寫(xiě)出判斷過(guò)程．

Answer 1

分析 （1）a=0時(shí)求出f（x），f′（x），從而求得f（0），f′（0），也就是求出了切點(diǎn)和切線的斜率，從而根據(jù)點(diǎn)斜式方程寫(xiě)出切線方程即可；
（2）求出f′（x），根據(jù)a的范圍，判斷導(dǎo)數(shù)符號(hào)，根據(jù)極值的概念便可得出f（x）的極值；
（3）根據(jù)（2）便可寫(xiě)出f（x）在[0，a+1]上的單調(diào)性，可畫(huà)出f（x）及y=x的大致圖象，根據(jù)圖象可以看出要使f（x）的圖象在y＞x表示的區(qū)域，只需f（a+1）＞a+1，即f（a+1）-a-1＞0恒成立．可設(shè)g（a）=$\frac{{e}^{a+1}}{a+2}-a-1$，通過(guò)求g′（a），g″（a），便可判斷g（a）在[0，$\frac{1}{2}$]上單調(diào)遞增，從而得出g（a）＞0成立，從而得出函數(shù)y=f（x）的圖象總在不等式y(tǒng)＞x所表示的平面區(qū)域內(nèi)．

解答 解：（1）a=0時(shí)，f（x）=$\frac{{e}^{x}}{{x}^{2}+1}$，$f′（x）=\frac{{e}^{x}（x-1）^{2}}{（{x}^{2}+1）^{2}}$；
∴f′（0）=1，又f（0）=1；
∴所求切線方程的斜率為1，切點(diǎn)為（0，1）；
∴f（x）在x=0處切線方程為y-1=x，即y=x+1；
（2）$f′（x）=\frac{{e}^{x}[{x}^{2}-（a+2）x+a+1]}{（{x}^{2}-ax+1）^{2}}$=$\frac{{e}^{x}（x-1）[x-（a+1）]}{（{x}^{2}-ax+1）^{2}}$；
∵a∈（0，2），∴x²-ax+1＞0恒成立，且1＜a+1；
∴x∈（-∞，1）時(shí)，f′（x）＞0，x∈（1，a+1）時(shí)，f′（x）＜0，x∈（a+1，+∞）時(shí)，f′（x）＞0；
∴x=1時(shí)，f（x）取得極大值$\frac{e}{2-a}$，x=a+1時(shí)，f（x）取得極小值$\frac{{e}^{a+1}}{a+2}$；
（3）由（2）知，x∈[0，1）時(shí)，f′（x）＞0；x∈（1，a+1），f′（x）＜0；
∴f（x）在[0，1]上單調(diào)遞增，在（1，a+1]上單調(diào)遞減，f（1）=$\frac{e}{2-a}$是f（x）在[0，a+1]上的最大值；
假設(shè)函數(shù)y=f（x）的圖象總在不等式y(tǒng)＞x所表示的平面區(qū)域內(nèi)，則f（x）及y=x的大致圖象如下所示：
∴只需f（a+1）＞a+1即可；
即$\frac{{e}^{a+1}}{a+2}-a-1＞0$在a∈$[0，\frac{1}{2}]$上恒成立，設(shè)g（a）=$\frac{{e}^{a+1}}{a+2}-a-1$；
$g′（a）=\frac{{e}^{a+1}（a+1）}{（a+2）^{2}}-1$，g″（a）=$\frac{{e}^{a+1}（a+2）（{a}^{2}+2a+2）}{（a+2）^{4}}$＞0；
∴g′（a）在[0，$\frac{1}{2}$]上單調(diào)遞增；
∴$g′（a）≥g′（0）=\frac{e}{4}＞0$；
∴g（a）在[0，$\frac{1}{2}$]上單調(diào)遞增；
∴$g（a）≥g（0）=\frac{e}{2}-1＞0$；
即g（a）＞0成立；
即f（a+1）＞a+1成立；
∴函數(shù)y=f（x）的圖象總在不等式y(tǒng)＞x所表示的平面區(qū)域內(nèi)．

點(diǎn)評(píng) 考查根據(jù)導(dǎo)數(shù)求過(guò)曲線上一點(diǎn)切線方程的方法與過(guò)程，知道切線的斜率為函數(shù)在切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)，直線的點(diǎn)斜式方程，函數(shù)極值的定義及求法．能找出y＞x表示的平面區(qū)域，以及數(shù)形結(jié)合解題的方法，根據(jù)函數(shù)導(dǎo)數(shù)符號(hào)判斷函數(shù)單調(diào)性的方法，以及單調(diào)性定義的運(yùn)用，注意正確求導(dǎo)．