Question

橢圓E：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左焦點(diǎn)為F₁，右焦點(diǎn)為F₂，離心率e=

2

2

，設(shè)動(dòng)直線l：y=kx+m與橢圓E相切于點(diǎn)P且交直線x=2于點(diǎn)N，△PF₁F₂的周長為2（

2

+1）．
（1）求橢圓E的方程；
（2）求兩焦點(diǎn)F₁、F₂到切線l的距離之積；
（3）求證：以PN為直徑的圓恒過點(diǎn)F₂．

Answer 1

考點(diǎn)：橢圓的簡單性質(zhì)

專題：平面向量及應(yīng)用,直線與圓,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）設(shè)出焦點(diǎn)坐標(biāo)，由離心率公式和橢圓的定義，可得a，c的方程，解得a，c，再由a，b，c的關(guān)系可得b，進(jìn)而得到橢圓的方程；
（2）聯(lián)立直線方程和橢圓方程，消去y，得到x的方程，由判別式為0，得到k，m的關(guān)系，再由點(diǎn)到直線的距離公式，計(jì)算即可得到之積；
（3）求出切點(diǎn)P的坐標(biāo)，再求N的坐標(biāo)，運(yùn)用向量垂直的條件，結(jié)合圓的直徑所對(duì)的圓周角為直角，即可得證．

解答： 解：（1）設(shè)F₁（-c，0），F(xiàn)₂（c，0），
由題意可得

c a = 2 2 2a+2c=2( 2 +1)

，解得a=

2

，c=1，
∴b²=a²-c²=1，
∴橢圓E：

x2

2

+y²=1；
（2）由

x2

2

+y²=1聯(lián)立直線方程y=kx+m，
消去y，可得（1+2k²）x²+4kmx+2（m²-1）=0，
設(shè)直線l與橢圓E相切于點(diǎn)P（x₀，y₀），
則△=0即16k²m²-8（1+2k²）（m²-1）=0，
化簡得m²=1+2k²，
焦點(diǎn)F₁，F(xiàn)₂到直線l的距離d₁，d₂分別為
d₁=

|-k+m|

1+k2

，d₂=

|k+m|

1+k2

，
則d₁•d₂=

|m2-k2|

1+k2

=

1+k2

1+k2

=1；
（3）證明：由（2）得，x₀=-

2km

1+2k2

=-

2k

m

，
∴y₀=kx₀+m=-

2k

m

+m=

m2-2k2

m

=

1

m

，
∴P（-

2k

m

，

1

m

），
又聯(lián)立y=kx+m與x=2，得到N（2，2k+m），
則

PF2

=（1+

2k

m

，-

1

m

），

F2N

=（1，2k+m），

PF2

•

F2N

=1+

2k

m

-

1

m

（2k+m）=1+

2k

m

-

2k

m

-1=0，
∴

PF2

⊥

F2N

，
∴以PN為直徑的圓恒過點(diǎn)F₂．

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的定義、方程和性質(zhì)，同時(shí)考查直線和橢圓相切的條件，運(yùn)用向量的數(shù)量積為0是證明垂直的常用方法，屬于中檔題．