Question

15．已知函數(shù)f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$），其圖象的一個對稱中心為（$\frac{π}{12}$，0），且相鄰對稱軸間的距離為$\frac{π}{2}$．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）設(shè)函數(shù)g（x）=f（x）+f（x+$\frac{π}{3}$）（x∈[0，π]），求g（x）的單調(diào)增區(qū)間．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)條件求出ω 和φ的值即可求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）求出g（x）的表達(dá)式，結(jié)合三角函數(shù)單調(diào)性以及單調(diào)遞增的性質(zhì)進(jìn)行求解即可．

解答 解：（1）∵相鄰對稱軸間的距離為$\frac{π}{2}$，
∴周期T=2×$\frac{π}{2}$=π，
即T=$\frac{2π}{ω}$=π，解得ω=2，
即f（x）=2sin（2x+φ），
∵圖象的一個對稱中心為（$\frac{π}{12}$，0），
∴$\frac{π}{12}$×2+φ=kπ，
即φ=kπ-$\frac{π}{6}$，
∵|φ|＜$\frac{π}{2}$，
∴當(dāng)k=0時，φ=-$\frac{π}{6}$，
即函數(shù)f（x）的解析式為f（x）=2sin（2x-$\frac{π}{6}$）；
（2）g（x）=f（x）+f（x+$\frac{π}{3}$）=2sin（2x-$\frac{π}{6}$）+2sin（2x$+\frac{π}{2}$）
=$\sqrt{3}$sin2x-cos2x+2cos2x
=$\sqrt{3}$sin2x+cos2x
=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）；
由2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，
即kπ-$\frac{π}{3}$≤x≤kπ+$\frac{π}{6}$，k∈Z
∵x∈[0，π]，
∴當(dāng)k=0時，0≤x≤$\frac{π}{6}$，
當(dāng)k=1時，$\frac{2π}{3}$≤x≤π，
故函數(shù)的增區(qū)間為[0，$\frac{π}{6}$]，[$\frac{2π}{3}$，π]．

點(diǎn)評 本題主要考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，根據(jù)條件求出ω 和φ的值是解決本題的關(guān)鍵．