Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=ln+ax﹣1（a≠0）．

（I）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；

（Ⅱ）已知g（x）+xf（x）=﹣x，若函數(shù)g（x）有兩個(gè)極值點(diǎn)x1，x2（x1＜x2），求證：g（x1）＜0．

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析（2）見(jiàn)解析

【解析】

試題

(Ⅰ)由題意分類討論可得

a＞0時(shí)，函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間是，單調(diào)增區(qū)間是；

a＜0，函數(shù)單調(diào)遞減；

(Ⅱ)由題意可得，結(jié)合導(dǎo)函數(shù)與原函數(shù)的性質(zhì)和二次函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行討論即可證得題中的結(jié)論.

試題解析：

（I）解：f（x）=ln+ax﹣1=﹣lnx+ax﹣1，定義域是（0，+∞）

∴f′（x）=．

a＞0時(shí)，令f′（x）=0，得x=，0＜x＜，f′（x）＜0，x＞，f′（x）＞0，

∴函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間是（0，），單調(diào)增區(qū)間是（，+∞）；

a＜0，f′（x）＜0在（0，+∞）上恒成立，函數(shù)單調(diào)遞減；

（Ⅱ）證明：已知g（x）+xf（x）=﹣x，則g（x）=xlnx﹣ax2，g′（x）=lnx﹣2ax+1，

∵函數(shù)g（x）有兩個(gè)極值點(diǎn)x1，x2（x1＜x2），

∴g′（x）在定義域上有兩個(gè)零點(diǎn)x1，x2（x1＜x2），

∴x1，x2是lnx﹣2ax+1=0的兩個(gè)根，

∴lnx1﹣2ax1+1=0，

∴g（x1）=，

∵g′（x）=lnx﹣2ax+1，

∴g″（x）=．

a＜0時(shí)，g″（x）＞0恒成立，∴g′（x）在（0，+∞）內(nèi)單調(diào)遞增，∴g′（x）至多一個(gè)零點(diǎn)；

a＞0時(shí)，令g″（x）=0得x=，0＜x＜，g″（x）＞0，x＞，g″（x）＜0，

∴g′（x）max=g′（）=ln=﹣ln2a＞0，

∴0＜a＜且0＜x1＜＜x2，

∵g（x1）=，拋物線開(kāi)口向上，對(duì)稱軸為x=，

∴g（x1）＜0．