Question

2．如果正方體、球與等邊圓柱（圓柱底面圓的直徑與高相等）的體積相等，設(shè)它們的表面積依次為S₁，S₂，S₃，則S₁，S₂，S₃大小關(guān)系為S₂＜S₃＜S₁．

Answer 1

分析 設(shè)球的半徑為 R，正方體的棱長(zhǎng)為 a，等邊圓柱的底面半徑為 r，且它們的體積都為 V，則V=$\frac{4}{3}π{R}^{3}={a}^{3}=2π{r}^{3}$，由此能比較S₁，S₂，S₃大小．

解答 解：設(shè)球的半徑為 R，正方體的棱長(zhǎng)為 a，等邊圓柱的底面半徑為 r，且它們的體積都為 V，
則V=$\frac{4}{3}π{R}^{3}={a}^{3}=2π{r}^{3}$，
解得$R=\root{3}{\frac{3V}{4π}}$，a=$\root{3}{V}$，r=$\root{3}{\frac{V}{2π}}$，
∴S₁=6×a²=6（$\root{3}{V}$）²=6$\root{3}{{V}^{2}}$=$\root{3}{216{V}^{2}}$，
S₂=4πR²=4π（$\root{3}{\frac{3V}{4π}}$）²=$\root{3}{36π{V}^{2}}$，
S₃=2π$\root{3}{（\frac{V}{2π}）^{2}}+2π•2\root{3}{（\frac{V}{2π}）^{2}}$=$\root{3}{54π{V}^{2}}$．
∴S₂＜S₃＜S₁．
故答案為：S₂＜S₃＜S₁．

點(diǎn)評(píng) 本題考查正方體、球與等邊圓柱的表面積的大小的比較，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意正方體、球與等邊圓柱的體積和表面積的性質(zhì)的合理運(yùn)用．