Question

已知奇函數(shù)f（x），偶函數(shù)g（x）滿足f（x）+g（x）=a^x（a＞0且a≠1）．
（1）求證：f（2x）=2f（x）g（x）；
（2）設(shè)f（x）的反函數(shù)f-1(x)，當(dāng)a=

2

-1時(shí)，比較f^-1[g（x）]與-1的大小，證明你的結(jié)論；
（3）若a＞1，n∈N*，且n≥2，比較f（n）與nf（1）的大小，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析：（1）以-x代x得f（-x）=g（-x）+a^-x再根據(jù)函數(shù)的奇偶性進(jìn)行化簡(jiǎn)，得到關(guān)于f（x）與g（x）的方程組，解之即可求出函數(shù)f（x）的解析式，從而證得f（2x）=2f（x）g（x）；
（2）根據(jù)互為反函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系可得出y=f^-1（x）是R上的減函數(shù)，再將-1代入，可求出f（-1）的值，結(jié)合反函數(shù)的單調(diào)性比較大小即得；
（3）欲比較f（n）與nf（1）的大小，先作差，再構(gòu)成函數(shù)?(x)=

1

2

(xn-x-n-nx+n•x-1)．根據(jù)導(dǎo)數(shù)研究此函數(shù)的單調(diào)性，從而得到證明．

解答：證明：（1）∵f（x）+g（x）=a^x，∴f（-x）+g（-x）=a^-x
∵f（x）是奇函數(shù)，g（x）是偶函數(shù)，∴-f（x）+g（x）=a^-x…2分
∴f（x）=

ax-a-x

2

，g（x）=

ax+a-x

2

． …3分
∴f（x）g（x）=

ax-a-x

2

•

ax+a-x

2

=

a2x-a-2x

4

=

1

2

f(2x)，即f（2x）=2f（x）g（x）．…5分
（2）∵0＜a=

2

-1＜1，∴f(x)=

ax-a-x

2

是R上的減函數(shù)，
∴y=f^-1（x）是R上的減函數(shù)．…6分
又∵f(-1)=

( 2 -1)-1-( 2 -1)1

2

=1，
∴g(x)≥2

ax 2 • a-x 2

=1=f(-1)，
∴f^-1[g（x）]≤-1．…8分
（3）f(n)-nf(1)=

an-a-n

2

-n•

a-a-1

2

=

1

2

(an-a-n-na+n•a-1)．10分
構(gòu)成函數(shù)?(x)=

1

2

(xn-x-n-nx+n•x-1)．

∵?′(x)= 1 2 [nxn-1+n•x-(n+1)-n-n•x-2]= n 2 [(xn-1-1)+ 1 xn+1 (1-xn-1)] ，= n 2 (xn-1-1)(1- 1 xn+1 ). ，& & &  …12分

當(dāng)x＞1，n≥2時(shí)，∅'（x）＞0，
∴∅（x）在[1，+∞）上是增函數(shù)．
a＞1時(shí)，∅（a）＞∅（1），即

1

2

（aⁿ-a^-n-na+na^-1）＞

1

2

（1-1-n+n）=0，
∴f（n）-nf（1）＞0，即f（n）＞nf（1）．（13分）．

點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用、函數(shù)奇偶性的應(yīng)用、函數(shù)與方程的綜合運(yùn)用等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，根據(jù)函數(shù)的奇偶性與題設(shè)中所給的解析式求出兩個(gè)函數(shù)的解析式，此是函數(shù)奇偶性運(yùn)用的一個(gè)技巧．屬于基礎(chǔ)題．