Question

定義在（0，+∞）上的可導(dǎo)函數(shù)f（x）滿足：xf′（x）+f（x）＜0且f（1）=1，則不等式xf（x）＞1的解集為（　　）

• A、（-∞，1）
• B、（0，1）
• C、（1，+∞）
• D、（0，1]

Answer 1

考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：構(gòu)造函數(shù)g（x）=xf（x）求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性即可求不等式．

解答： 解：設(shè)g（x）=xf（x），
則g′（x）=[xf（x）]′=xf′（x）+f（x）＜0，
即當(dāng)x＞0時(shí)，函數(shù)g（x）=xf（x）單調(diào)遞減，
∵f（1）=1，
∴g（1）=1×f（1）=1，
則不等式xf（x）＞1等價(jià)為g（x）＞g（1），
即0＜x＜1，
則不等式xf（x）＞1的解集為（0，1）．
故選：B

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查不等式的解法，利用條件構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性是解決本題的關(guān)鍵．