Question

15．設向量$\overrightarrow{a}$=（cos$\frac{x}{2}$，sin$\frac{x}{2}$），$\overrightarrow$=（sin$\frac{3x}{2}$，cos$\frac{3x}{2}$），x∈[0，$\frac{π}{2}$]．
（1）求$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$的值；
（2）若函數(shù)f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$+$\sqrt{2}$m|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|（m∈R），求f（x）的最小值．

Answer 1

分析 （1）通過向量數(shù)量積的坐標運算、三角函數(shù)的和角公式，計算即可；
（2）通過配方法化簡，分類討論即可．

解答 解：（1）∵向量$\overrightarrow{a}$=（cos$\frac{x}{2}$，sin$\frac{x}{2}$），$\overrightarrow$=（sin$\frac{3x}{2}$，cos$\frac{3x}{2}$），
∴$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=（cos$\frac{x}{2}$，sin$\frac{x}{2}$）•（sin$\frac{3x}{2}$，cos$\frac{3x}{2}$）
=$cos\frac{x}{2}sin\frac{3x}{2}+sin\frac{x}{2}cos\frac{3x}{2}$
=$sin（\frac{x}{2}+\frac{3x}{2}）$
=sin2x；
（2）∵向量$\overrightarrow{a}$=（cos$\frac{x}{2}$，sin$\frac{x}{2}$），$\overrightarrow$=（sin$\frac{3x}{2}$，cos$\frac{3x}{2}$），∴$|\overrightarrow{a}|=|\overrightarrow|=1$，
∴$|\overrightarrow{a}+\overrightarrow|=\sqrt{（\overrightarrow{a}+\overrightarrow）^{2}}$=$\sqrt{{\overrightarrow{a}}^{2}+{\overrightarrow}^{2}+2\overrightarrow{a}•\overrightarrow}$=$\sqrt{2+2sin2x}$，
∴f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$+$\sqrt{2}$m|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|
=sin2x$+\sqrt{2}$m$\sqrt{2+2sin2x}$
=sin2x+2m$\sqrt{1+sin2x}$
=1+sin2x+2m$\sqrt{1+sin2x}$+m²-m²-1
=$（\sqrt{1+sin2x}+m）^{2}-{m}^{2}-1$，
∵x∈[0，$\frac{π}{2}$]，∴$\sqrt{1+sin2x}$∈$[1，\sqrt{2}]$，
下面對m的取值情況進行討論：
①當m∈$[-\sqrt{2}，-1]$時，f（x）的最小值為-m²-1；
②當m＞-1時，f（x）的最小值為f（0）=2m；
③當m＜$-\sqrt{2}$時，f（x）的最小值為f（$\frac{π}{4}$）=2$\sqrt{2}$m+1；
綜上所述，當m∈$[-\sqrt{2}，-1]$時f_min（x）=-m²-1，
當m＞-1時，f_min（x）=2m，當m＜$-\sqrt{2}$時f_min（x）=2$\sqrt{2}$m+1．

點評 本題考查向量數(shù)量積的坐標運算，三角函數(shù)的和角公式，考查分類討論的思想，屬于中檔題．