Question

關(guān)于函數(shù)f（x）=

1

2

xsinx．下列命題正確的是

 

．
①函數(shù)y=f（x）的圖象是中心對(duì)稱圖形，對(duì)稱中心是原點(diǎn)；
②對(duì)任意實(shí)數(shù)x，|f（x）|≤

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2

|x|均成立；
③函數(shù)y=f（x）的圖象與x軸有無窮多個(gè)公共點(diǎn)，且任意相鄰兩公共點(diǎn)間的距離相等；
④函數(shù)y=f（x）的圖象與直線y=

1

2

x有無窮多個(gè)公共點(diǎn)，且任意相鄰兩公共點(diǎn)間的距離相等；
⑤函數(shù)y=f（x）有無數(shù)個(gè)極大值點(diǎn)，任意相鄰極大值點(diǎn)間的距離相等．

Answer 1

考點(diǎn)：正弦函數(shù)的圖象

專題：計(jì)算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：由函數(shù)的奇偶性的定義，即可判斷①；由于|sinx|≤1，即可判斷②；令f（x）=0，求出零點(diǎn)，即可判斷③；
令f（x）=

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2

x，求得交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，即可判斷④；求出導(dǎo)數(shù)，令導(dǎo)數(shù)為0，求得tanx=-x，由y=tanx，y=-x的圖象即可判斷⑤．

解答： 解：對(duì)于①，∵f（-x）=-

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2

xsin（-x）=f（x），∴f（x）是偶函數(shù)，
∴函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，即y=f（x）的圖象是軸對(duì)稱圖形，故①錯(cuò)誤；
對(duì)于②，∵|sinx|≤1，∴對(duì)任意實(shí)數(shù)x，|f（x）|≤

1

2

|x|均成立，故②正確；
對(duì)于③，令f（x）=0，則x=kπ，k為整數(shù)，圖象與x軸有無窮多個(gè)公共點(diǎn)，
且任意相鄰兩公共點(diǎn)間的距離相等均為π，故③正確；
對(duì)于④，當(dāng)x=2kπ+

π

2

（k∈Z）或x=2kπ-

π

2

（k∈Z）時(shí)，sinx=1或-1，
故函數(shù)y=f（x）的圖象與直線y=

1

2

x有無窮多個(gè)公共點(diǎn)，
但任意相鄰兩點(diǎn)的距離不相等，故④錯(cuò)誤；
對(duì)于⑤，f′（x）=

1

2

（sinx+xcosx），令f′（x）=0，則sinx+xcosx=0，即有tanx=-x，
由y=tanx，y=-x的圖象可知有無窮個(gè)交點(diǎn)，
即有有無數(shù)個(gè)極大值點(diǎn)，任意相鄰極大值點(diǎn)間的距離不相等，故⑤錯(cuò)誤．
故答案為：②③

點(diǎn)評(píng)：本題考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，考查函數(shù)的奇偶性和對(duì)稱性、值域，以及極值性，考查直線與函數(shù)圖象的關(guān)系，屬于中檔題．