Question

若命題P：設(shè)F（x）是定義在R上的減函數(shù)，且對(duì)于任意的x∈[0，1]，不等式組

F(2mx-x2)＜F(m-4) F(x2-mx)＜F(m-3)

成立，命題Q：函數(shù)f（x）=x²-

2

x

，g（x）=（

1

2

）^x-m，若?x₁∈[1，2]，?x₂∈[-1，1]使得f（x₁）≥g（x₂）成立，如果命題“P∨Q“為真命題，命題“￢P“為真命題，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：復(fù)合命題的真假

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,簡(jiǎn)易邏輯

分析：先根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，二次函數(shù)圖象，基本不等式，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性求函數(shù)最小值的方法求出命題P，Q下m的取值范圍，再根據(jù)命題“P∨Q“為真命題，命題“￢P“為真命題，知P為假命題，Q為真命題，所以求P假Q(mào)真時(shí)的m的取值范圍再求并集即可．

解答： 解：由命題P得：

2mx-x2＞m-4 x2-mx＞m-3

在[0，1]上恒成立；
即

x2-2mx+m-4＜0 x2-mx-m+3＞0

在[0，1]上恒成立；
設(shè)h（x）=x²-2mx+m-4，則：

h(0)=m-4＜0 h(1)=-m-3＜0

，解得-3＜m＜4；
設(shè)φ（x）=x²-mx-m+3，則：
m＜

x2+3

x+1

對(duì)于任意的x∈[0，1]恒成立；

x2+3

x+1

=

(x+1)2-2(x+1)+4

x+1

=（x+1）+

4

x+1

-2≥2，當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)取“=”；
∴m＜2；
綜上，若P為真時(shí)-3＜m＜2；
由命題Q得：f（x）在區(qū)間[1，2]上的最小值大于等于g（x）在區(qū)間[-1，1]上的最小值；
x∈[1，2]時(shí)，f′（x）=2x+

2

x2

＞0；
所以f（x）在[1，2]上單調(diào)遞增；
∴f（1）=-1是f（x）在[1，2]上的最小值；
g（x）在[-1，1]上單調(diào)遞減；
∴g(1)=

1

2

-m是g（x）在[-1，1]上的最小值；
∴-1≥

1

2

-m，∴m≥

3

2

；
如果命題“P∨Q“為真命題，命題“￢P“為真命題，則P為假命題，Q為真命題；
∴

m≤-3，或m≥2 m≥ 3 2

；
∴m≥2
∴實(shí)數(shù)m的取值范圍為[2，+∞）．

點(diǎn)評(píng)：考查增函數(shù)的定義，結(jié)合二次函數(shù)圖象解決問(wèn)題，根據(jù)導(dǎo)數(shù)或函數(shù)單調(diào)性的定義判斷函數(shù)的單調(diào)性，以及根據(jù)函數(shù)單調(diào)性求函數(shù)的最小值，P∨Q，￢P的真假和P，Q真假的關(guān)系．